函数型数据综合评价方法介绍：全局拉开档次法

一、多指标函数型数据下指标权重的求法

综合评价的核心是评价指标在不同时刻的权数的确定问题。如何合理充分地利用表2-1中的多指标函数型数据表的信息，去确定权数，进而对评价对象（系统）s1，s2，…，sn在时间区间T =［t1，tJ］的发展情况进行客观的评价或排序，是函数型数据综合评价要研究的主要问题。

拉开档次法是针对静态综合评价问题提出的一种确定权数方法，“纵横向”拉开档次法是针对动态综合评价问题提出的一种确定权数方法。对于函数型数据综合评价问题，需要发展新的方法去确定权数，本书在“纵横向”拉开档次法的基础上提出新的确定权数方法——“全局”拉开档次法。具体方法介绍如下。

二、“全局”拉开档次法^[3]

由多指标函数型数据表支持的综合评价问题，称为函数型数据综合评价，一般表现形式为（2-9）：

yi（t）为si在时间区间T内的综合评价函数，当T为离散点的集合时，即为动态综合评价，当T退化为一点时，即为静态综合评价。

此时“纵横向”拉开档次法不再适合函数型综合评价问题，需要发展新的方法去确定权数，本书提出新的确定权数方法——“全局”拉开档次法，具体原理如下：

由于所有指标的所有样本可以使用不相同的基函数和不相同的平滑参数λ。不失一般性，本书采取所有指标的所有样本使用相同的基函数和不相同的平滑参数λ的原则，经由粗糙惩罚方式构建的多指标函数型数据表在基函数下的表示形式为：

从式（2-11）可得，当所有指标的所有样本使用相同的基函数时，ø1（t）=ø2（t）=… =øm（t）=ø（t）。故基于函数型数据表，评价对象（系统）yi（t）的总离差平方和为：

定理2-1：取W为矩阵H的最大特征值所对应的特征向量时，σ2取最大值。

注：如果所求的W中的某个分量是负的（习惯上希望权数为正值），那么只能以降低评价系统之间的整体差异为代价，将W由下面的线性规划问题解出，具体形式如下：

证明：将式（2-14）写成瑞利（Rayleigh）商：

又H为实对称阵，存在正交矩阵Q，有QTHQ=Λ，Λ是以H的特征值为对角元素的对角阵，即

QT=Q，令ω=Qy，则（2-15）变为

即有

故定理得证。

本书针对函数型数据综合评价问题，提出了一种基于指标为函数型数据的，新的确定指标权数方法——“全局”拉开档次法，具体步骤为：

（1）将评价指标数据进行一致无量纲化处理，即先化为极大型评价指标然后对其进行无量纲化处理；

（2）将一致无量纲化后的指标数据进行函数拟合，并利用留一广义交叉验证（LOO-GCV）方法将评价对象的几个指标函数分别利用B样条基函数表示；

（4）求出矩阵H的最大特征值对应的特征向量，即为权数W，若此时W有分量为负值，则转为（5）；