如何选择指标无量纲化方法：客观、简易、可行原则

一、指标值的无量纲化处理

由于指标层和准则层的各个指标具有不同的属性与量纲，且指标值之间数量级存在明显的差异，进行评价计算前，需要采用一定的方法对指标监测值进行无量纲化处理，无量纲化处理的理论基础是指标监测值与处理后不受量纲影响的指标评价值之间的关系曲线类型，具体包括直线型、折线型和曲线型，通常采用直线型无量纲化方法。

根据指标监测值与系统最优状态的关系，可把指标分为正向指标和逆向指标，其中，正向指标指数值越大，越有利于企业界面整合管理的指标；逆向指标指数值越大，越不利于企业界面整合管理的指标。指标监测值的无量纲化处理使正、逆向指标的变化趋势相一致。指标评价值越大，表示该指标所反映的因子越有利；指标评价值越小，表示该指标所反映的因子越不利。

直线型无量纲化方法在将指标监测值转化成不受量纲影响的指标评价值时，假定两者之间呈线性关系，指标监测值的变化引起评价值相应比例的变化。这种处理方法主要有阈值法、Z－score法和目标值指数法等。

1.阈值法

阈值法利用指标正向和逆向阈值进行标准化，正向阈值指无量纲化处理后指标评价值为最优状态时的指标监测值；逆向指标指处理后指标评价值为最差状态时的指标监测值。具体方法如下。

正向指标无量纲化化公式如下：

逆向指标无量纲化公式如下：

其中，vi为第i项指标评价值，xi为第i项指标监测值。当xi为正向指标时，Xi max和Xi min为第i项指标的逆向阈值和正向阈值。

指标的正向阈值和逆向阈值选择应以战略实施区域的实际情况为基础，正向阈值可参考本区域或其他区域企业该指标所代表因素的处于最优状态时的监测值来决定，逆向阈值可参考本区域或其他区域企业该指标所代表的因素处于最差状态时的监测值来决定。

2.Z－score法

Z－score法又称为“中心化”处理方法，其无量纲公式为：

式中：vi为第i项指标数据标准化值；xi为指标观测值；为样本平均值；S为样本均方差。

3.目标值指数法

目标值指数法对正向指标和逆向指标与评价标准的关系进行无量纲化，主要公式如下：

式中，vi为第i项指标评价值，xi为指标监测值，xis为xi指标标准值。

总之，指标的无量纲化是综合评价的重要步骤，其可应用的方法较多。不同方法对原始指标值的要求不同，影响因素也不尽相同。采用阈值法进行无量纲化，是直线无量纲化中的一种，该法对指标数据的个数和分布状况没有特定要求；转化后的数据都在1～100之间，便于数学处理；Z－score法主要用于主成分分析中各数据的标准化，可以通过软件直接得到标准化后的结果；目标值指数法转化后的数据是相对数，各指标间的可比性较好。因此，选择无量纲化方法应该遵循客观性、简易性、可行性原则，根据被无量纲化指标的特点，选择最恰当的方法进行指标的无量纲化，以获得最满意的效果。

二、简单加权评价与模糊综合评价

1.层次分析法确定指标权重

在多指标线性加权模型评价中，权重确定直接影响到评价的结果。指标权重确定的方法分为两大类：一类是软技术方法。这是充分利用专家集体的知识、经验和智慧，必要时辅以一定的数学方法的指标权重确定方法，常见的有德尔菲法、层次分析法和优序图法等。专家挑选及其代表性、权威性和公正性是软技术赋权方法的关键。另一类是硬技术赋权方法。这是依靠数理等方法对指标进行赋权，主要包括秩和比法、多元分析法和相关系数法等。有的方法复杂繁琐，实际应用有一定困难。权重系数的确立是基于所搜集的数据信息，故其对数据信息准确性和可靠性要求很高。考虑到本书的研究特点，本书采用软技术赋权方法——层次分析法来确定权重。

（1）层次分析模型的构造

传统上，各指标权重的确定大都采用专家打分法，该方法通过聘请相关专家对指定的一组指标分别给出隶属度的估计值，并经过多次反馈，最终确定各指标的权重。这种方法的缺点是受主观因素影响较大，当指标个数超过一定数目时，专家往往出现循环判断的情况，效率与效果都差强人意。而运用层次分析法原理来确定指标权重，是将定性的群体决策转变为具有较强科学性的定量决策，能够修正专家打分法的主观性缺陷，为指标权重的确定提供科学依据。同时，整个工作过程可以通过编制计算机程序完成，易于实现。

应用层次分析法分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分，这些元素又按其属性及关系形成若干层次。上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。这些层次可以分为目标层、准则层和指标层三类。目标层中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果；准则层中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则；指标层包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等。递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关，一般地层次数不受限制。每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过9个，因为支配的元素过多会给两两比较判断带来困难。

（2）判断矩阵及其标度

判断矩阵表示相对上一层次某一因素时，本层次各因素之间的两两相对重要性程度。设A层因素ak与下一层B中的因素B1，B2，…，Bn有联系，则构造如下判断矩阵：

其中，bij表示相对于上一层次因素ak时，因素Bi对Bj的相对重要性。其值可用数字1～9及其倒数表示，这些数字成为判断矩阵标度。其含义如表5－12所示。

表5－12 判断矩阵标度及其含义

续 表

（3）层次分析法的计算

①计算判断矩阵每一行元素的乘积，公式如下：

②计算Mi的n次方根，公式如下：

③对向量＝［ῶ1，ῶ2，…，ῶn］T，进行规范化，即：

则WT＝［ῶ1，ῶ2，…，ῶn］即为所求的特征向量。

④计算判断矩阵的最大特征根：

其中，BW（ ）i表示向量AW的第i个元素。

⑤一致性检验。CI＝λmax－n（ ）／n－1，CR＝CI／RI，称CR为一致性比率。当CR＜0.1时，可认为判断矩阵具有满意的一致性，否则需要调整判断矩阵，使之具有满意的一致性。一致性指标如表5－13所示。

表5－13 平均随机一致性指标RI

⑥计算层次总排序权重及其一致性检验。计算同一层次所有指标相对于目标层的重要性的排序权重。从最上一级开始，自上而下的求出各级指标关于评价目标的组合权重，并进行一致性检验。过程如下：

设B级有m个指标B1，B2，…，Bm，它们关于评价目标的权重分别为：

w＝（w1，w2，…，wm）T

Bi级指标的下一级又有n个子指标Ci1，Ci2，…，Cim，它们相对于指标Bi的权重向量wij＝（wi1，wi2，…，win）T，则指标Cij对于评价目标的组合权重为：

Kij＝wi·wij，i＝1，2，…，m；j＝1，2，…，n 公式（5－18）

也就是说，某一级指标的组合权重是该指标的权重和相应准则层中指标权重的乘积。

2.简单加权评价

简单加权评价法是按照事先确定的指标权重对指标进行线性加权或乘法合成综合指数，用综合指数的大小来进行评价。表达式为：

其中m为指标个数，wi为各指标权重，xi为指标值。

3.模糊综合评价

由于评价过程涉及模糊因素，可以采用模糊综合评价这一现代数量经济分析方法。模糊综合评价法分为两步：第一步先按每个因素单独评价；第二步再按所有因素进行综合评价。

模糊综合评价法是基于模糊数学和层次分析的原理，首先把要评价的事物的多种因素，按其属性分成若干类大因素，然后对每一类大因素进行初级综合评价，最后再对初级评价的结果进行高一级的综合评价，它主要用于指标值隶属函数不明的情况，即评价指标包含定性指标的时候。其评价步骤如下：

（1）建立权重集(www.xing528.com)

①建立二级指标集Bj的权重集Vj＝（Wj1，Wj2，…，Wjn）。

②建立一级指标A的权重集U＝（ M1，M2，…，Mj ）。

（2）二级指标模糊综合评价

无论是对一级还是二级指标，其评价集通常可以设计为：

R＝（ 强 较强 中 较弱 弱 ）

①构造二级评价矩阵RBi。由专家组对二级指标Ci分别进行评价。假设专家组对某二级指标进行评价，专家组共有10人组成，其中3人认为属强，2人认为属较强，5人认为属中，则Ci指标的评价集为：

可得出由m个RCi构成m×5阶的评价矩阵RBj m×5。

②求得二级模糊综合评价集S。根据二级指标权重集Vj和二级评价矩阵RBj m×5进行二级模糊综合评价，可得到二级模糊综合评价集Sj。

则由二级指标模糊综合评价集Sj构成的j×5阶二级模糊综合评价矩阵为：

③一级指标模糊综合评价。根据一级指标集的权重集U和二级模糊综合评价矩阵Sj×5，进行一级指标模糊综合评价，可以得到一级指标模糊综合评价集T。

④评价结果归一化得出评价结论。

三、灰色关联度评价

灰色系统理论是我国著名学者邓聚龙于1982年创立的新兴横断学科，它以部分信息已知，部分信息未知的小样本、信息的不确定系统为研究对象，认为人们对客观事物认识具有广泛的灰色性，即信息不完全性和不确定性，因而由客观事物所形成的是一种灰色系统，即部分信息已知，部分信息未知的系统。

而灰色系统理论中的关联分析，是系统态势发展的量化比较分析，灰色关联度评价认为，若干个统计数据列构成的曲线几何形态越接近，那么其变化趋势就越接近，即关联度就越大，各方案的关联顺序反映了各方案对目标方案的接近顺序（方案的优劣顺序），其中关联度最大的方案就是最佳方案。

灰色关联度评价方法是按发展趋势做分析，因此对样本量的多少没有要求，也不需要有典型的分布规律，计算量小。进行关联分析时，首先要找准数据序列，即用什么数据才能反映系统的行为特征。当有了系统行为的数据列后，根据关联度计算公式便可算出关联程度。关联度可以反映各评价对象对理想对象的接近次序，即评价对象的优劣次序，其中灰色关联度最大的评价对象为最佳。其具体计算步骤如下：

1.确定分析序列

对原始数据进行分析处理，确定一个因变量序列和多个自变量序列。设因变量数据构成参考序列χ′o，自变量数据构成比较序列为χ′i（i＝1， 2，…，n），这n＋1个序列构成一个矩阵：

2.进行无量纲化

无量纲化的不仅是为了保证原始数据的量纲统一，而且也保证对于各自变量因素能在统一的比较标准上。进行无量纲化后各因素序列形成如下矩阵：

3.从差序列中找出最大差和最小差

所谓差序列即是第一列参考序列与其余各比较序列对应期的绝对值。即：

由差序列构成差值矩阵：

然后，从差值矩阵中找出最大绝对值差值max（Δij）和最小绝对差值min（Δij）。

4.计算关联系数

关联系数ζoi（k）反应的是第i个比较序列χo与参考序列与第k期的关联程度，所得到的关联系数为不超过1的正数。计算公式如下：

其中ρ为分辨系数，通常在（0，1）内取值，一般情况下取ρ＝0.5，ρ越小越能提高关联系数间的差异。由关联系数得到关联系数矩阵：

5.计算关联度

通过关联系数求得比较序列与参考序列的关联程度。计算关联度可采用平均值求得，也可以采用加权求得。采用平均值求得的关联度公式为：

6.依关联度排序

对关联度进行排序，关联度越大，说明比较序列与参考序列变化的态势越一致，说明该序列对参考序列的影响也越大。

四、主成分分析与聚类分析

1.主成分分析

主成分分析法是研究如何将多变量简化为较少综合变量的多元统计分析方法，即是对多维变量进行降维，降维后的变量是原变量的线性组合，并能反映原变量的绝大部分信息，使信息的损失最小，对原变量的综合解释力强。该方法通过特征向量的方差贡献率来表示变量的作用，可避免在系统分析中对权重的主观判断，使权重的分配更合理，尽可能地减少重叠信息的不良影响，克服变量之间的多重相关性，使系统分析简化。

其主要研究思路是：通过少数变量的几个线性组合来概括大部分原始信息。用m个变量的n次观测数据代替p m＜p（ ）个原变量的n次观测数据，而基本的信息量保持不变。分析步骤如下：

①原始指标数据的标准化处理

在企业经济效益评价中，各评价指标的量纲往往不同。而不同量纲的数据不能放在一起进行比较，必须对指标的数值进行标准化处理，以消除其量纲，使其具有可比性。设有n个样本和p项指标，可得数据矩阵为X＝（xij）n×p，i＝1，2，…，n，j＝1，2，…，p，其中，xij表示第i个样本的第j项指标值。

②求指标数据的相关矩阵

经标准化处理后，指标数据的相关系数矩阵R为：

③求R的特征根和特征向量以确定主成分

确定主成分由特征方程式＝0，可求得的p个特征根λg（g＝1，2，…，p）。特征根将其按大小顺序排列为λ1≥λ2≥…≥λp≥0。其主成分的方差的大小描述了各个主成分在描述被评价对象上所起作用的大小。由特征方程式，每一个特征根对应一个特征向量Lg， Lg＝（lg1，lg2，…，lgp）。将标准化后的指标变量转换为主成分Fg＝lg1Z1＋lg2Z2＋…＋lgpZp，（g＝1，2，…，p）。F1称为第一主成分， F2称为第二主成分，以此类推，Fp称为第p主成分。在主成分分析中，求相关矩阵的特征根和特征向量计算工作量很大，但是利用软件包却很容易算出。

④求方差贡献率以确定主成分个数

一般主成分个数等于原始指标个数，如果原始指标个数较多，进行综合评价时就比较麻烦。主成分分析法的基本思想就是选取尽量少的k个主成分（k＜p）来进行综合评价，同时还要使损失的信息量尽可能少。k值由方差贡献率决定，具体如下：

⑤对k个主成分进行综合评价

先求每一个主成分的线性加权值Fg＝lg1Z1＋lg2Z2＋…＋lgpZp，g＝1，2，…，k。再对k个主成分进行加权求和，即得最终评价值。权数为每个主成分的方差贡献率，则最终评价值为：

2.聚类分析

聚类分析属于数理统计多元分析的一支，有着广泛的应用。它的基本思想是在样品之间定义距离，在变量之间定义相似系数，来表征样品或变量之间的相似程度，按相似程度的大小，将样品或变量逐一归类。

假设特征值向量为X＝（X1，X2，…，Xp），p为特征数，其中列向量Xi＝（Xi1，Xi2，…，Xin）T，（ i＝1，2，…，p ），n为样本数。对样本数据采用类平均距离进行聚类，任意两类Gp，Gq之间的平均距离为：

其中，np，nq分别为Gp，Gq中包含的样本数，dij为两类Gp，Gq之间任意两个样本i与j之间欧氏距离：

聚类分析用于主成分分析之后，主要用来对主成分分析的结果进行验证。