多种资源生产一种产品,资源之间可相互替代,一种资源可替代多种资源。根据第7 章的研究,第j 种资源对多种资源(i=1,2,…,n)的替代关系为:
式(8-58)中:λj表示第j 种资源的投入量 xj与第j 种资源的限制量Xj的比例,;λi表示第i 种资源(i=1,2,…,n)的投入量 xi与第i 种资源的限制量Xi的比例,;e 为常数。第j 种资源投入的收益为(式中M和r 的意义与第7 章同),第j 种资源全部投入能获得收益M。我们把第j 种资源固定,用n 种资源逐步替换第j 种资源(每种资源替代第j 种资源一次),总收益始终保持在M水平。
第1 种资源去部分替代第j 种资源,没有被替代的部分第j种资源投入的收益为:
第2 种资源去部分替代第j 种资源,没有被替代的部分第j种资源投入的收益为:
第n 种资源去部分替代第j 种资源,没有被替代的部分第j种资源投入的收益为:
第i 种替代资源的收益为:
Rj0=M表示第j 种资源没有被替换。
全部收益
收益固定,成本最低就是利润最大。下面就分资源价格不变、资源价格递增、资源价格递减三种情况寻找总成本最低的(n+1)种资源最优组合。(www.xing528.com)
设第i 种资源的价格为ci,那么第i 种资源的成本为:
总成本为:
总利润最大化的模型
将式(8-61)代入式(8-64)得
同理,可建立资源价格递增的利润最大化模型
同理,可建立资源价格递减的利润最大化模型
同理,可建立资源价格递增、递减的利润最大化模型
式(8-65)、式(8-66)、式(8-67)、式(8-68)λi的解是利润最大化的最优解,可求得各种资源的最佳投入量,进而可求得利润最大化的成本和利润。
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