多种资源相互替代性生产同一产品

多种资源生产一种产品，资源之间可相互替代，一种资源可替代多种资源。根据第7 章的研究，第j 种资源对多种资源（i=1，2，…，n）的替代关系为：

式（8-58）中：λj表示第j 种资源的投入量 xj与第j 种资源的限制量Xj的比例，；λi表示第i 种资源（i=1，2，…，n）的投入量 xi与第i 种资源的限制量Xi的比例，；e 为常数。第j 种资源投入的收益为（式中M和r 的意义与第7 章同），第j 种资源全部投入能获得收益M。我们把第j 种资源固定，用n 种资源逐步替换第j 种资源（每种资源替代第j 种资源一次），总收益始终保持在M水平。

第1 种资源去部分替代第j 种资源，没有被替代的部分第j种资源投入的收益为：

第2 种资源去部分替代第j 种资源，没有被替代的部分第j种资源投入的收益为：

第n 种资源去部分替代第j 种资源，没有被替代的部分第j种资源投入的收益为：

第i 种替代资源的收益为：

Rj0=M表示第j 种资源没有被替换。

全部收益

收益固定，成本最低就是利润最大。下面就分资源价格不变、资源价格递增、资源价格递减三种情况寻找总成本最低的（n+1）种资源最优组合。(www.xing528.com)

设第i 种资源的价格为ci，那么第i 种资源的成本为：

总成本为：

总利润最大化的模型

将式（8-61）代入式（8-64）得

同理，可建立资源价格递增的利润最大化模型

同理，可建立资源价格递减的利润最大化模型

同理，可建立资源价格递增、递减的利润最大化模型

式（8-65）、式（8-66）、式（8-67）、式（8-68）λi的解是利润最大化的最优解，可求得各种资源的最佳投入量，进而可求得利润最大化的成本和利润。