资源价格不变的最佳生产规模优化方案

yi是变量，yi的变化决定生产规模，在 yi可能取值中，我们总能找到一个最佳生产规模所对应 yi，借此进行资源最优配置。λ是变量，λ∈（0，1），λ的变化决定资源的优化组合。在λ的取值范围内，至少能找到λ的一个值，使得等收益线上的成本最低（或收益最大）。把 yi和λ都看成是变量，我们需要找到利润最大化的一条等收益线而确定 yi值，又在这条线上找到使利润最大化（或成本最低）的λ，再根据yi和λ求得X 资源和Y 资源的最优投入组合（x，y）。

现在我们来寻找一条（至少一条）等收益线使利润最大化。

由于等收益线的形状是确定的，任一条等收益线的“yi”与其最低成本点（x，y）的关系也是确定的（比如式（6-12）反映 yi与λ的确定性关系，可进一步推得 yi与最低成本点（x，y）的确定性关系）。因此，我们把利润看成是yi的函数。

求利润 π（yi）关于 yi的导数：

如果T≺3M、S ≺ yi≺2.5S，那么。

证明：

VCx是X 资源的收益为极限收益M的一半的成本，，所以。

如果k∈（0，1），就有

如果k∈（1，3），就有

以上两个不等式表明，在T≺3M和S ≺ yi≺2.5S 的条件下利润函数有极大值。

令，得

这是双曲线方程，其中一支曲线顶点的切线方程为ξ=a。将ξ和a 代入这个切线方程得：

舍去负根，取正根得

式（6-17）为利润最大化的生产规模最优解。

之所以舍去负根，是因为负根不能使。如果取负根，就有

不符合实际情况，所以舍去负根。(www.xing528.com)

将式（6-17）代入式（6-12），得

令，那么

将代入上式，得

解关于未知量y 的方程，得

将式（6-17）代入式（6-4），得

这个方程有两个根，舍去y=0 这一个根，另一个根为

根据式（6-18）和式（6-19）有等式

式（6-20）是关于未知量λ的一元方程，解这个方程，就得到最佳生产规模的最佳资源配置的解（λ的解）。将这个最优解代入式（6-19）得最佳生产规模的Y 资源的最佳投入量。

将式（6-17）代入式（6-9）得

将适合式（6-20）λ的最优解和式（6-19）关于y 的最优解代入式（6-21），得最佳生产规模的X 资源的最佳投入量。根据式（6-19）和（6-21）所得到的一组解（x，y），这组解就是最佳生产规模的最优资源组合。

将式（6-17）代入式（6-10），得

将式（6-19）和适合式（6-20）的λ代入式（6-22），得到最佳生产规模的最佳资源配置的成本。

将式（6-17）代入式（6-11），得

将式（6-19）和适合式（6-20）的λ代入式（6-23），得到最佳生产规模的最佳资源配置的利润。