规模报酬函数和收益函数的关系

设：单位资源对生产甲产品的收益贡献为w1，对生产乙产品的收益贡献为w2，，对规模报酬函数的约定如同第二章，那么：生产甲产品的规模报酬函数为w1=w1（λx），生产乙产品的规模报酬函数为w2=w2（（1-λ）x），生产甲产品的收益函数为R1=λxw1（λx），生产乙产品的收益函数为R2=（1-λ）xw2（（1-λ）x）。仿照第二章规模报酬函数的类型，列出甲产品、乙产品的规模报酬函数类型，如表3-1 和表3-2 所示。

表3-1　甲产品生产规模报酬函数与收益函数表

表中：① 当时，R1＜0′；当时，R1＞0′。
② 当时，R1＞0′；当时，R1＜0′。

表3-1、表3-2 中：u1，u2是确定的数，分别表示甲、乙两种产品生产规模报酬不变的单位资源投入的收益。k1，k2分别表示甲、乙两种产品规模报酬直线增的斜率；g1，g2分别表示甲、乙两种产品规模报酬直线增的裁距，g1，g2通常为零，也可以是正数、负数。wx表示规模报酬递增到最大的值。G 表示规模报酬递减的初始值，是规模报酬递减的最大值。1l，l2分别表示甲、乙两种产品规模报酬直线减的斜率。

我们从甲、乙两种产品的规模报酬函数开始，去寻找甲、乙两种产品生产的资源最佳配置。生产甲、乙两种产品的收益之和为：(www.xing528.com)

计算，如果R′＜0，收益函数R 有极大值；如果R′＞0，收益函数R 没有极大值。计算，辨别R′＜0或者R′＞0或者R′=0，如表3-3 所示。

表3-3　收益函数二阶导数正负号表

表中的①、②、③、④与表3-1、表3-2 的注解相同。

表3-3 中：“=0”“＞0”表示收益函数的二阶导数等于零、大于零，收益函数没有极大值，全部资源只投向规模报酬较大的一种生产活动。“＜0”表示收益函数的二阶导数小于零，收益函数有极大值，令收益函数的一阶导数等于零求得λ的值为收益最大化的最优解，λ与（1-）λ为甲乙两种生产活动的最优配置。“±”表示收益函数的二阶导数正负号不确定，需要根据规模报酬函数的参数来确定。“①、②、③、④”表示收益函数在定义域λ∈[0，1]内，既有二阶导数大于零，又有二阶导数小于零。

我们的目标是要在式（3-1）中找到一个λ的值使收益R 最大化。生产甲产品的各种收益函数与生产乙产品的各种收益函数两两相加构造出各种总收益函数，每一种总收益函数都有一个最大值，这个最大值取决于λ，λ∈[0，1]。下面，我们就对总收益函数进行分类分析。