规模最优解：生产者利润最大化的资源投入量

规模最优解是生产者利润最大化的资源投入量，是利润函数最大值的解。前面我们分别研究的规模报酬和规模成本，是生产者追求利润的两个方面。利润π、收益R、成本C 都是资源投入x 的函数，它们之间的关系是：

设收益函数向量R=｛R1，R2，…，Ri，…，Rn｝，规模成本函数向量C=｛C1，C2，…，Cj，…，Cm｝，这两个向量中的分量两两代入式（2-60）构建利润函数矩阵π ：

矩阵中πij表示第i 种类型的收益函数与第j 种类型的成本函数构建的利润函数。例如，求 π37的最优解，规模报酬序号3 的收益函数与规模成本序号7 的成本函数构建利润函数为：

对利润函数求一阶导数、二阶导数，如果二阶导数小于零，则利润函数有极大值；否则，利润函数无极大值。例如对利润函数 π37求一阶导数和二阶导数：

由于 π37＞0，利润函数 π37没有最大值。

以同样的方法甄别其他利润函数有无最大值，如表2-3 所示。

表2-3　收益减成本构建的利润函数有无最大值表

由收益减成本构建的利润函数有三种类型——利润函数有最大值、利润函数没有最大值和利润函数有无最大值不确定。

规模报酬不变、规模报酬递增与规模成本不变、规模成本递增所构成的利润函数没有最大值。如果有企业属于没有最大值利润函数生产阶段，那么它将扩大生产规模直到生产函数类型改变或者形成垄断。

规模报酬递增收益函数减规模成本递增成本函数所构成的利润函数最大值不确定，如表2-4、表2-5、表2-6 所示。规模报酬递减收益函数减规模成本递减成本函数所构成的利润函数最大值也不确定，如表2-7、表2-8、表2-9 所示。这类利润函数最大值有限制条件，根据利润函数的二阶导数（二阶导数小于零）分析利润最大化的二阶条件，令一阶导数为零，求解满足利润最大化（二阶）条件的最优规模解。在下列表中的最优规模解往往列出含一个变量x（资源投入量）方程，在实践中可以根据方程的参数求得方程的根（可能有多个），选择符合二阶条件的根作为最优规模解。如果没有符合二阶条件的根，则利润函数没有最优规模解。

规模成本递增、规模报酬不变，利润函数的二阶导数小于零，有确定的最优规模解。如表2-10 所示。

规模成本不变、规模报酬递减，利润函数的二阶导数小于零，有确定的最优规模解。如表2-11 所示。

规模成本递增、规模收益递减，利润函数的二阶导数小于零，有确定的最优规模解。如表2-12、表2-13、表2-14 所示。

用前面同样的方法求解规模报酬递增递减的最优规模解。规模报酬递增递减收益函数与规模成本不变函数、规模成本递增函数构建的利润函数的二阶导数小于零，利润函数有最大值。规模报酬递增递减收益函数与规模成本递减函数构建的利润函数在一定限制条件下有最大值，这些限制条件是利润函数有极大值的二阶条件。(www.xing528.com)

规模成本直线递减的二阶条件：

规模成本缓慢递减的二阶条件：

规模成本快速递减的二阶条件：

根据边际资源成本等于边际资源收益（利润最大化）的原理，用式（2-58）与表2-2 中各边际成本函数建立等量关系——只含有一个变量（资源投入量）的方程。解方程求得的根当中，符合利润函数二阶条件的、具有经济意义的根是规模报酬递增递减的规模最优解（见表2-15）。

将最优规模解代入表2-1、表2-2 中各函数，可求得最佳生产规模条件下的利润、收益、成本等。