Malmquist方法与全要素生产率分析

以数据包络分析（DEA）为基础的Malmquist指数是在前沿生产函数模型的基础上将生产率拆分为技术进步、效率改善和规模效率等因素的模型之一。下文就Malmquist指数进行具体的解释。

首先，参照Färe（1994）的定义，假定t期第i个决策单元DMUi的输入向量为，输出为Yt，共有n个决策单元，输入输出组合为（Xt，Yt）。，假定从输入Xt到输出Yt存在生产可能性集合St，它的数学表达式为：

在生产可能性集合St中，每一个既定输入因子的最大输出因子的生产集合子集被称作生产技术的前沿。另外，t时刻决策单元DMU0的产出距离函数可以定义为：

该距离函数表示了投入产出最大可能量与实际产出的比率。当且仅当时，。且，时表示位于技术前沿上。技术前沿面上的点意味着技术效率为1，即既定投入下产出达到最大化。在单一投入和单一产出的情况下，生产率达到最大时，最大产出也就实现了。因此，最大化的生产率就是样本中的“前沿”和“最佳实践”。

为了明确Malmquist指数的定义，下面用t时刻的生产技术作为参考衡量t+1时期生产（Xt+1，Yt+1）效率的产出距离函数：

该函数表示在t时刻的生产技术为参照时投入产出量所能达到的最大可能产出与实际产出的比率。同理可证，t+1时刻的生产技术为参照，投入产出量为的所能达到最大可能产出与实际产出的比率，定义为距离函数。

t时刻TFP的Malmquist指数可以表示为：

t+1时刻TFP的Malmquist指数可以表示为：

为了避免基期不同带来的混淆，把以产出为指标的Malmquist指数表示为两个不同时期的Malmquist指数的集合平均值，数学表达式为：

该公式有一个假设，就是生产技术的规模效益不变，即生产技术是中性的。公式（2-6）可以进行进一步的分解，将其拆成效率改善和技术进步两大因子，即：

和

效率改善指的是时刻t和t+1之间生产距离的变化，也就是生产效率的变化。技术进步指的是相同的投入产出条件下，不同时刻的技术进步的比率，也就是代表生产技术前沿在产出方向的增加。如果效率改善或技术进步小于1，就代表全要素生产率可能因此下降。

下面以省际面板数据为例，来进一步说明Malmquist指数的含义。

假设有k=1，…，K个省市自治区，在t=1，…，T中的每一个时刻，使用n=1，…，N要素投入，于是有。这些投入被用来生产m=1，…，M个种类的产出。生产可能集合也就是生产技术前沿，可以表示为：(www.xing528.com)

其中，z表示每一个横截面观察值的权重，Zk，t表示第k省在t时刻的观察值权重。

下面以图1来说明全要素生产率的组成，以及技术进步和效率改善的图解。

图1　Malmquist全要素生产率指数及其分解

横轴表示投入，纵轴表示产出。两条射线代表生产前沿面，也就是前文的St和St+1，为t时刻观测到的投入产出点，在该时刻表示距离函数的值就应该为oa/ob（a点即yt点），即给定时刻和投入下实际产出同前沿生产函数上的产出之比。同理可得，t+1时刻观测到的投入产出点，相对于t时刻的生产前沿函数的距离之比为od/oc。因此，t+1时刻与t时刻的生产率之比为：

时间截点为t+1时也同理可得：

还是为了避免选择t或t+1时刻的生产前沿为参照的随意性，同样选取两个生产率的几何平均值。这样以产出为指标的Malmquist生产率指数还可以用图1中的符号写成如下形式：

其中，。

效率改善还可以拆分为纯的效率改善和规模效率，前提是在规模效应变化的情况下。

图2　纯效率改善和规模效应

如图2所示，OCG是具有规模不变效应的生产前沿曲线，而BCD是具有规模效应可变的生产前沿曲线。以生产集合中的任意一点E点为例，通常的效率改善指的是FE/FG。但如果具有规模可变效应，效率改善还可以分为纯效率改善和规模效率，用图例表示分别为：FE/FD，DG。即规模效率可以定义为这两个效率改善之间的比值（Forsund ＆ Hjalmarsson，1979）^[30]。

综上所述，Malmquist指数可以用来比较不同时期生产效率与技术进步的变化，反映可持续发展能力，考虑到规模效益时，Malmquist指数可以分解为：

Effch表示效率改善指数，反映了研究对象对生产前沿面的追赶程度，如果大于1，代表生产效率提高；Techch为技术进步指数，如果大于1，表示考察对象的技术发生进步；其中Effch还可以分解为Pech和Sech，分别带代表纯的效率改善变化之术和规模效率变化之术的乘积。