水资源需求规律的微观数学表达

(一)水资源微观需求数学模型

水资源微观需求规律可以表示为用户总需水量的变化规律,也可以表示为用水定额的变化规律。每个区域、每个时期、每个用水类别的平均用水定额可用若干解释变量的一个函数来表达。下面给出两种模型作为例子。

1.多变量线性统计模型

模拟水资源需求最常用的方法是多元回归法。一般假设相关变量是多于一个自变量的线性函数,例如,如果有三个自变量,那么它的理论模型可以表示为(Ben Dziegielewski et.,2002):

式中:α、β1、β2、β3为回归系数估计;X1、X2、X3为假定影响因变量q的自变量;ε为随机误差。

为了用普通最小平方回归法分析产生有效的结果,必须满足回归模型的五个基本假设:

(1)零平均值:对所有的记录i来说,∑(εi)=0,或平均误差的期望值是0,所以误差在0上下随机波动,从某种意义上说,是互相抵消。

(2)公共方差:对所有的i来说,Var(εi)=Φ2,这表明误差的方差是常数并且不依赖于相关变量的值。

(3)独立性:对于所有的i≠j,εi和εj都是正态的。

(4)Xj的独立性:在自变量之间没有相互关联。

(5)正态分布:变量的分布必须近似正态的。

两个附加的条件是:①不存在共线性:即任何自变量都不是其他自变量的线性组合;②观测的数量必须超过估算系数的数目。当回归模型的五个基本假设得到了满足的时候,回归系数α和βi的普通最小平方方法无偏估计在所有无偏估计值中有最小的方差。这些估计值是指最好的线性无偏估计值。任何违反基本假设都将会减少普通最小平方法的有效性。

2.多变量非线性统计模型

例如,家庭用水定额可用几个变量的函数表示(Ben Dziegielewski et.,2002):

式中:qkgt为用水类型k在地理区域g和时间t年内的平均用水定额;I为家庭收入中值;H为平均家庭大小(人口);L为平均房屋密度(套/英亩);T为日最大空气温度;R为降雨量;P为水的边际价格(包括废水);B为水/废水价格表中的固定水费(fixed charge)或额外费用(rate premium);α为常数;βt为解释变量的恒定的弹性;b7为额外费用系数;e为自然对数的底。

(二)水需求的价格弹性

1.弹性的定义

水需求价格弹性,定义为相对于价格P的微小变化率所对应的水需求Q的变化率(Robert S.Pinkyck et.,1997):

即

式中:Q*=(Q1+Q2)/2,P*=(P1+P2)/2;下角标1、2分别指变化前和变化后。

一个更常用的定义是根据需求函数的导数来表示的,求得曲线上具体点的弹性:

这里用水量是价格和其他变量的函数。将式(84)中的普通导数用偏导数代替,得:

上面的两种定义方法,给出的都是一个无量纲的弹性值。价格弹性能够表示为当价格变化1%时其需求数量变化的百分数。如价格弹性为-0.5,表示当价格增加1%的时候,需求的数量就减少0.5%,或者当价格减少1.0%的时候,需求数量就增加0.5%。

为了分清它们对价格反应的不同类型,根据弹性值的大小,可以将它分成五类:(1)η=0时,为完全无弹性(perfect inelasticity)。

(2)0＞η＞-1时,为缺乏弹性、不富弹性,或无弹性(inelastic)。(www.xing528.com)

(3)η=-1时,为单位弹性、单一弹性,或恒一弹性(unit elasticity)。

(4)-1＞η＞-∞时,为富有弹性(elastic)。

(5)η=-∞时,为完全弹性或完全有弹性(perfect elasticity)。

换句话说,当需求数量变化少于价格变化的时候,我们说需求是缺乏弹性的;当需求数量变化大于价格变化数量的时候,我们说需求是富有弹性的。

2.不同需求函数的价格弹性

价格弹性的估计值是通过对用水量的关系进行计量经济分析得到的。为了解释这些数据,需要设定需求函数的具体函数形式,通常使用四种函数形式:线性函数、对数-线性模型、部分对数的对数模型和双对数模型(Ben Dziegielewski et.,2002)。另外,弹性值不仅可以通过价格变量计算,也可以通过其他解释变量计算。下面介绍用四种不同的函数形式计算变量x的弹性值的方法。其中所用符号的含义如下:

Q为用水量;x为变量,例如价格;X为其他解释变量矢量;为Y的平均值;z为误差项;a、b、c为回归系数。

(1)线性函数。用水量最简单的函数形式根本不需要变换,它是简单的多变量线性关系:

当收入和其他解释变量不变的时候,式(86)可以写成下列表达式:

x的弹性值可以由下式计算得到:

(2)对数 线性模型。除了因变量Q用它的对数变换(通常是它的自然对数)替代以外,对数-线性需求函数和线性函数很相似,这样就有下列的形式:

两边求反对数,得:

除x外,其他所有的要素都为常数,则上式可以表达为:

x的弹性值可以由下式计算:

(3)部分对数的对数模型。部分对数的对数模型包括等式右边部分(不是所有)因变量的对数变换。如:

变换得:

设X为常数,则需求曲线的形式为:

在对数 线性模型中,x的弹性值和x成比例关系:

(4)双对数模型。

这种模型的形式是:

这个函数可以写成下列表达式:

当其他变量为常数的时候,有两个参数的需求曲线是:

双对数模型的需求价格弹性为常数,即: