1.传递闭包聚类法及其原理
在实际问题中存在着大量的模糊相似关系，通过传递闭包法、编网法或最大树法等，可将模糊相似关系应用与聚类。传递闭包聚类法是将模糊相似关系转换成模糊等价关系，根据模糊等价关系将给定对象划分为一些等价类。传递闭包聚类法是将经典集合理论里的等价关系概念推广到模糊集合中，形成模糊等价关系概念，根据传递闭包任何λ截集(0≤λ≤1)都是普通集合的概念，可以根据不同的λ即不同的水平进行分类，形成了新的模糊聚类分析方法。
传递闭包模糊聚类过程可归纳如下：
(1)聚类指标的确定。
设论域X={x1，x2，…，xn}为被分类的对象，每个对象又有m个指标表示其特征，即：
(2)数据标准化。
在实际问题中，不同的数据有不同的量纲，为了使不同量纲的量也能进行比较，通常要对数据进行适当的变换。但即使这样，得到的数据也不一定在区间[0，1]上，因此这里所说的标准化，是按模糊矩阵的要求，将数据压缩到区间[0，1]上。
通常需要做的变化为以下几种：
①平移-标准差变换。
其中
经过变化后，每个变量均值为0，标准差为1，且消除了量纲的影响，但得到的x/ik不一定在区间[0，1]上。
②平移-极差变换。
③对数变换。取对数以缩小变量间的数量级
(3)建立模糊相似矩阵。
论域
按照传统聚类方法确定相似系数，建立模糊相似矩阵。xi与xj的相似程度为rij=R(xi，xj)。rij反映了两样本的相似程度，rij的绝对值越接近1，说明对象xi与xj的相似性越大。确定rij的方法主要有传统聚类分析中的相似系数法、距离法等。其中，相似系数法包括数量积法、相关系数法、指数相似系数法、最大值最小值法、算术平均最小值法、几何平均最小值法等，距离法包括直接距离法、指数距离法和倒数距离法等。
(4)建立模糊等价矩阵。
由相似系数构成的矩阵R是模糊相似矩阵，不一定是模糊等价矩阵，不能直接用来进行分类。为了进行分类，还必须把R改造成模糊等价矩阵R∗。根据下述定理1，用二次方法求R的传递闭包t(R)，t(R)就是所求的模糊等价矩阵，即t(R)=R∗。
定理1：设R ∈μn×n是模糊相似矩阵，则存在一个最小自然数k(k≤n)，使得传递闭包t(R)=Rk，对于一切大于k的自然数l，恒有R l=Rk。此时，t(R)为模糊等价矩阵。(www.xing528.com)
(5)聚类。
对于待分类样本集的模糊等价矩阵确定后，给定λ∈[0，1]，便可以得到模糊等价矩阵的λ水平截矩阵
。给出不同的λ值，可以得到不同的分类，即可形成动态聚类图。
2.基于传递闭包聚类的国际陆港空间布局聚类分析
(1)聚类指标的选择。
根据本章6.2节的分析，本书采用的传递闭包聚类指标为GDP、GDP增长率、进出口总额、进出口总额增长率、工业总产值、等级公路密度、批发零售业销售总额、货运量、交通区位和外商投资总额十个指标。
(2)数据标准化。
由于指标间极差不一样，且有负值，本书采用平移-极差变换对原始数据进行标准化。
(3)建立模糊相似矩阵。
本书采用直接距离法中的欧几里得距离建立模糊相似矩阵。
(4)建立模糊等价矩阵。
本书采用二次方法求模糊等价矩阵。
(5)聚类结果。
聚类结果如表6.4所示。
3.聚类有效性评价
根据表6.4传递闭包聚类的结果，运用式(6.1)计算其F统计量得：
F传递闭包聚类=40.360 8
查F分布表得：
F0.05(4-1，147-4)=F0.05(3，143)=2.6
由于F传递闭包聚类＞F0.05(3，143)，根据数理统计方差分析理论可知，运用传递闭包聚类法将样本分为四类也是比较合理的。
表6.4 传递闭包聚类结果
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