核密度估计方法及其在空间分部动态变化研究中的应用

(1)EBM超效率模型

首先，建立EBM模型:

假设有K(k＝1，2，…，K)个决策单元，每个决策单元有N(n＝1，2，…，N)种投入，M(m＝1，2…，M)种期望产出，J(j＝1，2…，J)种非期望产出，投入和期望产出矩阵分别表示为X＝{xnk}∈RN×K，Y＝{ymk}∈RM×K且X＞0，Y＞0，非期望产出矩阵为:

(2)核密度估计方法

核密度估计方法在概率论中用来估计未知的密度函数，1962年由Parzen提出，属于一种非参数估计方法。和参数估计不同，非参数估计不加入任何先验信息，而是根据数据本身的特点、性质来拟合分布，这样能得到比参数方法更好的模型。核密度估计主要基于核函数对随机变量密度进行平滑估计得到随机变量的分布形态，对模型的依赖程度较低，测算结果比较稳健，是当前研究空间分部动态变化的常用方法。该方法假定随机变量X的密度函数为:

其中f(x)定义为密度函数，h为带宽，n为观测值个数，x为均值，Xi为独立同分布的观测值，K(·)定义为核函数，可以是任意的光滑函数。但是为了保证密度函数的合理性，既要求密度函数为非负的，也要求密度函数的积分为1，这可以通过使用适当的核函数来保证。核函数需要满足以下条件:

本篇采用常用的高斯核函数对长江经济带工业水资源效率的分布动态进行估计。核密度估计能够反映变量分布位置、形态和延展性等信息。就本篇而言，分布位置反映各省份工业水资源效率水平高低；分布形态用来分析工业水资源效率的空间差异大小和极化程度，其中波峰的高度和宽度反映差异大小，波峰数量反映极化程度；分布延展性用来刻画工业水资源效率水平最高的省份与其他省份的空间差异大小，如果拖尾越长，则差异越大。