总产量变化率及其影响

设某产品在时刻t总产量的变化率为f（t）＝100＋12t-6t2（件/小时），求从t＝2到t＝4的总产量.

问题1.6.1　解答

分析：已知的总产量的变化率就是总产量的导数，要求从t＝2到t＝4的总产量就是求总产量函数的增加量.

先求总产量函数

则从t＝2到t＝4的总产量为

从上面的问题可以看出，已知导数求原函数，再通过原函数可以求出函数的增量是一个定值.也就是已知导数可以求得函数的增量是定值，这个就是定积分的问题.如果用定积分的方法来求，那么应用范围会更广、更具普遍性和更加简便.

相关知识：定积分的概念与计算；定积分的几何意义和经济意义

1.定积分的概念

由区间[a，b]上的连续曲线y＝f（x）（f（x）≥0），x轴与直线x＝a，x＝b所围成的平面图形称为曲边梯形（见图1-6-1）.

由于曲边梯形底边上各点处的高f（x）在区间[a，b]上是变动的，因此不能利用已有的面积公式求出面积.为计算曲边梯形AabB的面积，可按下述方法进行：

（1）分割.用任意的n-1个分点a＝x0＜x1＜…＜xn-1＜xn＝b把区间[a，b]分成n个小区间：[x0，x1]，[x1，x2]，…，[xn-1，xn]，其中第i个小区间长度为Δxi＝xi-xi-1（i＝1，2，…，n）.

图1-6-1

　过每一分点xi（i＝1，2，…，n-1）作x轴的垂线，把曲边梯形AabB分成n个小曲边梯形，其中第i个小曲边梯形的面积记为ΔAi（见图1-6-2）.曲边梯形AabB的面积A等于n个小区间的面积之和，即

图1-6-2

图1-6-3

（2）近似.在每一小区间[xi-1，xi]上任取一点ξi（i＝1，2，…，n），以Δxi为底边、f（ξi）为高作小矩作，其面积为f（ξi）Δxi（i＝1，2，…，n）（见图1-6-3）.

当Δxi很小时ΔAi≈f（ξi）Δxi.

（3）求和.把这n个小曲边梯形的面积的近似值加起来，便得到曲边梯形AabB的面积近似值，即

定义1.6.1　设函数f（x）在区间[a，b]上有定义.用点a＝x0＜x1＜x2＜…＜xn-1＜xn＝b，把区间[a，b]任意分为n个小区间：

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2.定积分的几何意义

显然从上面曲边梯形的面积可看出定积分的几何意义：

　图1-6-4

3.定积分的性质

　图1-6-5

4.定积分计算公式——牛顿—莱布尼茨公式（微积分基本定理）

设f（x）在区间[a，b]上连续，F（x）是f（x）的一个原函数，则

这样，求定积分就是先求原函数，然后把上、下限代入原函数，再把所得的函数值相减即可.

问题1.6.1　解答（定积分法）

从t＝2到t＝4的总产量为

5.定积分的经济意义