如何确定合适的利率？

某房地产信贷公司可从银行以5%的年利率借得贷款，然后又将此款贷给购房者.若它能贷出的款额与它贷的利率的平方成反比，问：以多大的年利率贷出能使该公司获利润最大？

问题1.4.5　解答

知识拓展

1.讨论函数y＝f（x）的单调性的步骤：

（1）确定函数的定义域.

（2）求出导数f′（x），求出使f′（x）＝0和f′（x）不存在的点.

（3）以这些点为分界点，将定义域分为若干个子区间；以列表分析的形式在各个子区间讨论f′（x）的符号，从而判定出函数的单调性.

（4）写出结论.

例1　确定函数f（x）＝36x5＋15x4-40x3-7的单调区间.

解　这个函数的定义域为（-∞，＋∞）

没有导数为零的点，但x＝2为导数不存在的点.

列表分析：

故f（x）在（-∞，2）内单调增加，在（2，＋∞）内单调减少.利用导数判定函数的单调性还可以用来证明一些不等式.

例3　求证当x＞0时，有ex＞1＋x.

证　令f（x）＝ex-1-x，则

于是f（x）在（0，＋∞）内单调增加.即f（x）＞f（0）.

而f（0）＝e0-1-0＝0，故f（x）＞0.

亦即ex＞1＋x.证毕.

2.求极值的步骤：

（1）求出函数f（x）的定义域；

（2）求导数f′（x），令f′（x）＝0，求出f（x）在定义域内的所有驻点，以及f′（x）不存在的点；

（3）用判别法Ⅰ或判别法Ⅱ分别考查每一个驻点或导数不存在的点是否为极值点，是极大值点还是极小值点；

（4）求出各极值点的函数值.

令f′（x）＝0，解得x＝1.当x＝0时，f′（x）不存在.

列表分析：

例2　求函数f（x）＝x3-3x2-9x＋1的极值.

解　函数的定义域为（-∞，＋∞）.

令f′（x）＝0，解得x＝-1，x＝3.

f″（-1）＝-12＜0，所以x＝-1是极大值点.f（x）的极大值为f（-1）＝6.

f″（3）＝12＞0，所以x＝3是极小值点.f（x）的极小值为f（3）＝-26.

3.求曲线凹向和拐点步骤

（1）求函数的定义域.

（2）求函数的一阶导数f′（x）和二阶导数f″（x）；令f″（x）＝0，解出全部根，并求出所有二阶导数不存在的点.

（3）以这些点为分界点，将定义域分为若干个子区间；以列表分析的形式在各个子区间讨论f″（x）的符号，从而判定出曲线的凹向区间与拐点.

（4）写出结论.

例1　求曲线y＝x4-2x3＋1的凹向区间与拐点.解　函数的定义域为（-∞，＋∞），

y′＝4x3-6x2，y″＝12x2-12x＝12x(x-1).

令y″＝0，解得x＝0，x＝1.

列表分析：（为了清楚起见，表中“∪”表示上凹，“∩”表示下凹.）(www.xing528.com)

故曲线在区间（-∞，0）及（1，＋∞）上凹，在区间（0，1）下凹，（0，1）和（1，0）是它的两个拐点.1

y″在（-∞，＋∞）内恒不为零，但x＝4时，y″不存在.

列表分析：

故曲线在（-∞，4）内是上凹的，在（4，＋∞）内是下凹的，所以（4，2）是曲线的拐点.

4.求连续函数f（x）在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的方法如下：

（1）求出f（x）在（a，b）内的所有驻点和一阶导数不存在的连续点，并计算各点的函数值.

（2）求出端点的函数值f（a）和f（b）.

（3）比较前面求出的所有函数值，其中最大的就是f（x）在[a，b]上的最大值M，最小的就是f（x）在[a，b]上的最小值m.

注：（1）极值与最值的比较：①极值是局部性的，最值是全局性的；②极值一定在区间内部取得，最值可在区间端点取得；③极值可以有多个，而最值唯一.

（2）实际问题中最值问题的求法：①建立目标函数；②求出目标函数在定义区间内的最值点；③按问题的要求写出结论.

例2　【货场设置问题】设铁路边上离工厂C最近的点A距工厂20千米，铁路边上B城距A200千米，现要在铁路线AB上选一点D修筑一条公路，已知铁路与公路每吨千米的货运费之比为3∶5，问：D选在何处时，才能使产品从工厂C运到B城的每吨货物的总运费最省？（见图1-4-7）

图1-4-7

解　设点D选在距离A处x千米，又设铁路与公路的每吨千米货运费分别为3k，5k（k为常数），则产品从C处运到B城的每吨总运费为

因此当点D选在距离点A15千米处，这时每吨货物的总运费最省.

在实际问题中，如果函数f（x）在某区间内只有唯一的驻点x0，而且从实际问题本身又可以知道f（x）在该区间内必定有最大值或最小值，那么f（x0）就是所要求的最大值或最小值，不必与区间的端点值比较了.

例3　【最小平均成本问题】某厂生产某种产品的成本函数为C（q）＝9 000＋40q＋0.001q2，求平均成本最小时的产量.

解　平均成本函数为

由C—′（q）＝0得驻点为q＝3 000（q＝-3 000舍去）.

因为q＝3 000是唯一的驻点，而平均成本必定有最小值，所以q＝3 000就是最小值点.即平均成本最小时的产量为3 000.

【基础练习1-4】

1.求下列函数的单调区间和极值：

2.求下列曲线的凹向和拐点：

【提高练习1-4】

【应用练习1-4】

2.【最小成本问题】已知某个企业的成本函数为C＝q3-9q2＋30q＋25，其中C表示成本（单元：千元），q表示产量（单位：吨），求平均可变成本y（单位：千元）的最小值.

3.【旅行社的利润】旅行社为某旅游团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为1.5万元，旅游团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若旅游团的人数多于30人，则给予优惠，每多1人，每张机票减少10元，但旅游团的人数最多有75人，那么旅游团的人数为多少时，旅行社可获得的利润最大？

4.【机车的最佳行驶速度】一辆汽车每小时花费的燃料费用为kv2＋100（美元），其中k为常数，v为机动车的行驶速度（英里^[1]时），当速度为每小时25英里时，每小时需花费125美元，求使每英里所花燃料费最低的速度.

5.【如何确定最优广告量】强生公司的收入函数为R＝500＋50A-A2，A为广告产量.如果每单位广告成本为4万美元，试确定最优广告量，使总利润最大.

6.【房租定为多少合适】房地产公司有50套公寓要出租.当租金定为每月每套180元时，公寓会全部租出去.租金每增加10元，就会有一套公寓租不出去，租出去的房子每月每套需花费20元的整修维护费.试问：租金为多少可获得最大收入？

7.生产某种产品q个单位时的费用为C（q）＝5q＋200，收入函数为R（q）＝10q-0.01q2，问：每批生产多少个单位，才能使利润最大？

8.设某厂每天生产某种产品q单位时的总成本函数为C（q）＝0.5q2＋36q＋9 800，问：每天生产多少单位的产品时，其平均成本最低？

【数学文化聚焦】蜂窝猜想

加拿大科学记者德富林在《环球邮报》上撰文称，经过160年努力，数学家终于证明蜜蜂是世界上工作效率最高的建筑者.

公元4世纪，古希腊数学家佩波斯提出，蜂窝的优美形状，是自然界最有效劳动的代表.他猜想，人们所见到的截面呈六边形的蜂窝，是蜜蜂采用最少量的蜂蜡建造成的.他的这一猜想称为“蜂窝猜想”，但这一猜想一直没有人能证明.

美国密歇根大学数学家黑尔宣称，他已破解这一猜想.

蜂窝是一座十分精密的建筑工程.蜜蜂建巢时，青壮年工蜂负责分泌片状新鲜蜂蜡，每片只有针头大小.而另一些工蜂则负责将这些蜂蜡仔细摆放到一定的位置，以形成竖直六面柱体.每一面蜂蜡隔墙厚度及误差都非常小.六面隔墙宽度完全相同，墙之间的角度正好120度，形成一个完美的几何图形.人们一直疑问，蜜蜂为什么不让其巢室呈三角形、正方形或者其他形状呢？隔墙为什么呈平面，而不是呈曲面呢？虽然蜂窝是一个三维体建筑，但每一个蜂巢都是六面柱体，而蜂蜡墙的总面积仅与蜂巢的截面有关，由此引出一个数学问题，即寻找面积最大、周长最小的平面图形.

1973年，匈牙利数学家陶斯巧妙地证明，在所有首尾相连的正多边形中，正六边形的周长是最小的.但如果多边形的边是曲线，会发生什么情况呢？陶斯认为，正六边形与其他任何形状的图形相比，它的周长最小，但他不能证明这一点.而黑尔在考虑了周边是曲线时，无论是曲线向外凸，还是向内凹，都证明了众多正六边形组成的图形周长最小.他已将19页的证明过程放在互联网上，许多专家都已看到这一证明，认为黑尔的证明是正确的.

蜂窝结构的工程设计应用广泛，特别是在航天工业中对减轻飞机重量，节约材料，减少人力集中，增加疲劳寿命，降低成本等都有重要意义.

自然的调和与规律，从宇宙星辰到微观的DNA的构造，都可用数与形来表达，并且结晶在数学的美之中.大自然无穷的宝藏，不但给我们提供研究的题材，而且还启示研究方法.