如何合理定价，实现最大化收益？

某商品由一企业垄断生产，产品的需求函数为Q＝12-0.5P，在P＝6及P＝18时，若价格上涨2%，总收入如何变化？价格定为多少时，总收入最大？

问题1.3.4　分析：价格上涨2%，相应的总收入增加或减少多少个百分点的问题就是求收益的弹性问题.

相关知识：销售收入与需求弹性

知识拓展

1.复合函数求导

例1　求下列函数的导数：

(1)y＝sin3x；　(2)y＝cos x2.

注：用复合函数的求导法则求出来的结果，必须把引进的中间变量回代成原来自变量的式子.复合函数求导法则好像链条一样一环扣一环，又称之为链式法则.运用这个法则的关键是要分清复合函数的层次和结构，即要看清它是怎样由外层到内层复合而成的，然后由外向内逐层求导数再相乘，既不能重复，也不能遗漏.

在求导的计算过程中，有时我们除了使用复合函数的求导法则外，可能需要同时使用函数的四则运算.

例3　求下列函数的导数：

2.隐函数求导

隐函数求导的方法是：方程两端同时对x求导，遇到含有y的项，先对y求导，再乘以y对x的导数y′，得到一个含有y′的方程式，然后从中解出y′即可.

例1　求由方程ey＝xy所确定的隐函数y的导数.

解　方程两边同时对x求导，得ey·y′＝x′y＋xy′

即

例2　求由方程x2＋y2＝4所确定的隐函数y的导数y′.

解　因为方程x2＋y2＝4确定y为x的函数，记为y＝f（x），即方程可写成

其中f 2（x）是通过中间变量y对x的复合函数，恒等式两边对x求导，得

注：若y确定为x的隐函数，只需等式两边同时对x求导，而在此过程中，把y视为中间变量.

一般地，隐函数求导的方法是：方程两端同时对x求导，遇到含有y的项，先对y求导，再乘以y对x的导数y′，得到一个含有y′的方程式，然后从中解出y′即可.

例3　求曲线xy＋ln y＝1在点M（1，1）处的切线方程.

解　先求由xy＋ln y＝1所确定的隐函数的导数.方程两边同时对x求导，得

我们也经常遇到这样一些情形，虽然给定的函数是显函数，但直接求它的导数很困难或很麻烦，比如一种因子之幂的连乘积的函数和幂指函数y＝uv（其中u、v都是x的函数，且u＞0）.对于这两类函数，可以通过两边取对数，转化成隐函数，然后按隐函数的求导方法求出导数y′，这种方法称为取对数求导法，可以使计算简单得多.

3.高阶导数

相应地，把y＝f（x）的导数y′＝f′（x）称为函数y＝f（x）的一阶导数.

例1　设f′（x）＝x2ln x，求f‴（2）.

例2　求函数y＝ax的n阶导数.

解　y′＝axln a，y″＝ax（ln a）2，…，y（n）＝ax（ln a）n.

例3　求函数y＝xn的n阶导数.

解　y′＝nxn-1，y″＝n（n-1）xn-2，y‴＝n（n-1）（n-2）xn-3，…，

4.洛必达法则

定理1.3.2　（洛必达法则）若函数f（x）与g（x）满足条件：

洛必达法则为求未定式的极限提供了一个非常有效的方法，但它并不是万能的.

经过两次运用洛必达法则，又回到了原来的形式，这说明洛必达法则失效，此例可按如下方法计算：(www.xing528.com)

从以上两例可以看出，洛必达法则的条件是充分的而不是必要的.若运用该法则不能解决某未定式的极限问题，并不意味着该未定式的极限不存在，而应考虑使用其他方法.

5.微分

我们讲过导数表示函数在点x处的变化率，它描述函数在点x处变化的快慢程度，但有时我们还需要了解函数在某一点处当自变量有一个微小的改变量时，函数所取得的相应改变量，而用公式Δy＝f（x＋Δx）-f（x）计算往往比较麻烦，于是我们想到要寻求一种当Δx很小时，能近似代替Δy并且容易计算的量.

【薄片面积的改变量】一个正方形金属薄片因受温度的影响，其边长由x0变到x0＋Δx，问：此薄片的面积增长了多少？

设此薄片的边长为x0，则其面积为A＝x02，则当边长发生改变时，相应面积的改变量为

ΔA＝(x0＋Δx)2-x02＝2x0Δx＋(Δx)2

从上式可以看出，ΔA分成两个部分.

图1-3-2

第一部分2x0Δx是Δx的线性函数，如图1-3-2所示，带有斜线的两个矩形面积之和，而第二个部分（Δx）2是图中带有交叉线的小正方形的面积.

假设取x0＝1，Δx＝0.01时，Δx相对于x0是一个微小的改变量，相应面积的改变量为ΔA＝（1＋0.01）2-12＝2×1×0.01＋（0.01）2＝0.020 1.

虽然算出了面积改变量的精确值，但在实际应用中，一般保留小数点后两位，即取近似值0.02，也就是说，面积改变量ΔA的第二个部分（Δx）2被省略了，这是因为（Δx）2＝0.000 1比Δx还要小，对ΔA的影响微乎其微，可以忽略不计.

【铁块体积的改变量】为了防止正方体铁块生锈，可以在其表面镀上一层不易生锈的金属锌，试问：镀锌后体积增加了多少？

假设取x0＝1，Δx＝0.01时，Δx相对于x0是一个微小的改变量，相应体积改变量为

虽然算出了体积改变量的精确值，但在实际应用中，一般保留小数点后两位，即取近似值0.03，也就是说，体积改变量ΔV中3x0（Δx）2＋（Δx）3部分被省略了，这是因为3x0（Δx）2＋（Δx）3＝0.000 301比Δx还要小，对ΔV的影响微乎其微，可以忽略不计.

上述两个问题的实际意义不同，但都进行相同的数学运算，即函数的改变量可以等于函数在x0的导数与自变量改变量Δx的乘积加上一个Δx的高阶无穷小之和，并且，当Δx很小时，函数的改变量可以近似等于这个乘积，并称其为函数的微分，下面给出函数微分的定义.

函数y＝f（x）在任意点x处的微分，叫作函数的微分，记作dy＝f′（x）dx.经常用微分dy来近似代替Δy，可以使计算更简便.

例2　求函数y＝x3e2x的微分dy.

解　y′＝3x2e2x＋2x3e2x＝x2e2x（3＋2x），

所以dy＝y′dx＝x2e2x（3＋2x）dx.

下面讨论复合函数的微分.

设y＝f（u）及u＝φ（x）都可导，则复合函数y＝f[φ（x）]的微分为

由于φ′（x）dx＝du，因此，复合函数y＝f[φ（x）]的微分公式也可以写成

由此可见，无论u是自变量还是另一个变量的可微函数，微分形式dy＝f′（u）du保持不变.这一性质称为微分形式不变性.这个性质表示，当变换自变量时，微分形式dy＝f′（u）du并不改变.

例3　求函数y＝sin（2x＋1）的微分dy.

解　把2x＋1看成中间变量u，则y＝sin u，u＝2x＋1.

在求复合函数的微分过程中，可以不写出中间变量.

例4　求函数y＝ln（1＋ex2）的微分dy.

另外，求复合函数的微分还可以直接用微分的定义dy＝f′（x）dx，即先求出复合函数的导数再乘以dx即可.

【基础练习1-3】

1.求下列函数的导数：

【提高练习1-3】

【应用练习1-3】

1.【需求弹性】某人对消费品x的需求函数为Q＝（100-P）2，分别计算价格P＝60，P＝40时的需求弹性.

2.【需求的弧弹性】1986年7月，某外国城市公共汽车票价从32美分提高到40美分，1986年8月底乘客为880万人次，与1985年同期相比减少了12%，求需求的弧弹性.

3.【需求弹性与价格预测】某产品本月售价为85元/件，销售量为4 000件，经测定需求弹性为-1.3，预计下月产量为4 250件，下月价格应定为多少？

4.【需求弹性与价格】某企业生产一种商品，年需求量Q是价格P的线性函数Q＝a-bP（a，b＞0且为常数）.求：（1）需求弹性；（2）需求弹性等于1时的价格.

5.【需求弹性与定价】某城市乘客对公交车票价的需求价格弹性为0.6，票价为1元时日乘客量为55万人.市政府当局计划提价后，净减少的日乘客量控制为10万人，新的票价应定为多少？

6.【扑克牌的弹性】假定扑克牌的市场需求方程为Q＝6×106-106P，式中Q为每年对扑克牌的需求数，P为价格，单位为美元.如果价格在每副牌2美元的基础上增加1%，问：需求价格弹性是多少？并解释其经济含义.

7.【需求弹性与总收益】某商品的需求量Q为价格P的函数Q＝150-2P2.

（1）求P＝6时的需求弹性，并说明其经济意义.

（2）若价格下降1%，总收益将变化百分之几？是增加还是减少？

8.【需求弹性与产品定价】设汽油的需求弹性为-0.15，其价格现为每加仑1.20美元，试问：汽油价格上涨多少美元才能使其消费量减少10%？

9.【需求弹性与产品定价】某企业计划年度预计生产并销售产品25 000件.上一年每件销售价格为385元，销售量为18 500件，价格弹性为-3.8，经测定该产品的需求函数为线性函数Q＝a-bp（a，b＞0且为常数）.问：计划产品价格应定为多少较为合理？