假设检验：总体均值和比例的探究

6.2.1 总体方差已知时对正态总体均值的假设检验

设总体X～N(μ，σ2)，总体方差σ2为已知，(x1，x2，…，xn)为总体的一个样本，样本平均数为。现在的问题是对总体均值μ进行假设检验。H0: μ=μ0(或μ≤μ0、μ≥μ0)。

根据抽样分布定理，样本平均数服从N(μ，σ2/n)，所以，如果H0成立，检验统计量U及其分布为。

利用服从正态分布的统计量U进行的假设检验称为U检验法。根据已知的总体方差、样本容量n和样本平均数，计算出检验统计量U的值。对于给定的检验水平，查正态分布表可得临界值，将所计算的U值与临界值比较，便可做出检验结论。

［例6.1］根据过去大量资料，某厂生产的产品的使用寿命服从正态分布N(1020， 1002)。现从最近生产的一批产品中随机抽取16件，测得样本平均寿命为1080小时。试在0.05的显著性水平下判断这批产品的使用寿命是否有显著提高。

解: 根据题意，提出假设: H0: μ=1020; H1: μ＞1020。

检验统计量

由α=0.05，查表得临界值U0.05=1.645

由于U=2.4＞Uα=1.645，所以应拒绝H0而接受H1，即这批产品的使用寿命确有显著提高。

6.2.2 总体方差未知时对正态总体均值的假设检验

设总体X～N(μ，σ2)，但总体方差σ2未知，此时对总体均值的检验不能用上述U检验法，因为此时的检验统计量U中包含了未知参数σ。为了得到一个不含未知参数的检验统计量，很自然会用总体方差的无偏估计量——样本方差S2来代替σ2，于是得到t统计量。根据上节内容已知道，检验统计量t及其分布为:

利用服从t分布的统计量去检验总体均值的方法称为t检验法。其具体做法是: 根据题意提出假设(与U检验法中的假设形式相同); 构造检验统计量t并根据样本信息计算其具体值; 对于给定的检验水平α，由t分布表查得临界值; 将所计算的t值与临界值比较，做出检验结论。

双侧检验时，若＞tα/2，则拒绝H0，接受H1。

左侧检验时，若t＜-tα，则拒绝H0，接受H1。

右侧检验时，若t＞tα，则拒绝H0，接受H1。

［例6.2］从长期的资料可知，某厂生产的某种零件服从均值为200小时、标准差未知的正态分布。通过改变部分生产工艺后，抽得10件做样本得数据(小时):

202 209 213 198 206 210 195 208 200 207

试在0.05的显著性水平下判断这批产品的使用寿命是否有显著提高。(www.xing528.com)

解: 根据题意，检验目的是考察零件的平均值数据是否有所提高。因此，可建立如下假设: H0: μ=200，H1: μ＞200。

根据已知数据求得=204.8，S=5.789。

检验统计量

由α=0.05，查表得临界值tα(n-1) =t0.05(10-1) =1.8331。

由于=2.622＞tα(n-1) =1.8331，所以拒绝H0接受H1，即可以接受“在新工艺下，这种电子元件的使用寿命有所提高的假设”。

t检验法适用于小样本情况下总体方差未知时对正态总体均值的假设检验。随着样本容量n的增大，t分布趋近于标准正态分布。所以大样本情况下(n＞30)，总体方差未知时对正态总体均值μ的假设检验通常近似采用U检验法。同理，大样本情况下非正态总体均值的检验也可用U检验法。因为，根据大样本的抽样分布定理，总体分布形式不明或为非正态总体时，样本平均数趋近于正态分布。这时，检验统计量U中的总体标准差σ用样本标准差S来代替。

6.2.3 总体比例的假设检验

由比例的抽样分布定理可知，样本比例服从二项分布，因此可由二项分布来确定对总体比例进行假设检验的临界值，但其计算往往十分繁琐。大样本情况下，二项分布近似服从正态分布。因此，对总体比例的检验通常是在大样本条件下进行的，根据正态分布来近似确定临界值，即采用U检验法。其检验步骤与均值检验的步骤相同，只是检验统计量不同。

首先提出待检验的假设:H0:P=P0，H1:P≠P0(或P＜P0，P＞P0)。

检验统计量为:

［例6.3］调查人员在调查某企业的主要生产线时，被告知性能良好生产稳定，产品合格率可达99%。随机抽查了200件产品，其中195件产品合格，厂方的宣称是否可信(α=10%)?

解: 依题意，可建立如下假设:

H0:P=0.99 H1:P≠0.99

样本比例:p==0.975

由于样本容量相当大，所以可近似采用U检验法。

给定α=0.1，查正态分布表得μα/2=μ0.05=1.645。

由于＜μα/2，应接受原假设，即认为厂方的宣称是可信的。