假设检验：基本原理及应用

6.1.1 假设检验的基本思想

先通过一个例子来说明假设检验的基本思想。

某企业生产一种零件，过去的大量资料表明，零件的平均长度为4厘米，标准差为0.1厘米。改革工艺后，抽查了100个零件，测得样本平均长度为3.94厘米。现问: 工艺改革前后零件的长度是否发生了显著的变化?

这是关于工艺改革前后零件的平均长度(总体平均数)是否等于4的假设检验问题。我们知道，样本平均长度与原平均长度出现差异不外乎两种可能: 一是改革后的总体平均长度不变，但由于抽样的随机性使样本平均数与总体平均数之间存在抽样误差; 二是工艺条件的变化，使总体平均数发生了显著的变化。因此可以这样推断: 如果样本平均数与总体平均数之间的差异不大，未超出抽样误差范围，则认为总体平均数不变; 反之，如果样本平均数与总体平均数之间的差异超出了抽样误差范围，则认为总体平均数发生了显著的变化。

可以看出，假设检验是对调查人员所关心的却又是未知的总体参数先做出假设，然后抽取样本，利用样本提供的信息对假设的正确性进行判断的过程。

6.1.2 假设检验的步骤

第一步: 提出原假设和备择假设。

对每个假设检验问题，一般可同时提出两个相反的假设: 原假设和备择假设。原假设又称零假设，是正待检验的假设，记为H0; 备择假设是拒绝原假设后可供选择的假设，记为H1。原假设和备择假设是相互对立的，检验结果二者必取其一。接受H0则必须拒绝H1; 反之，拒绝H0则必须接受H1。

原假设和备择假设不是随意提出的，应根据所检验问题的具体背景而定。常常是采取“不轻易拒绝原假设”的原则，即把没有充分理由不能轻易否定的命题作为原假设，而相应地把没有足够把握就不能轻易肯定的命题作为备择假设。

一般来说，假设有三种形式:

(1)H0: μ=μ0; H1: μ≠μ0。这种形式的假设检验称为双侧检验。

(2)H0: μ=μ0; H1: μ＜μ0(或H0: μ≥μ0; H1: μ＜μ0)。这种形式的假设检验称为左侧检验。

(3)H0: μ=μ0; H1: μ＞μ0(或H0: μ≤μ0; H1: μ＞μ0)。这种形式的假设检验称为右侧检验。(www.xing528.com)

左侧检验和右侧检验统称为单侧检验。采用哪种假设，要根据所研究的实际问题而定。如果对所研究问题只需判断有无显著差异或要求同时注意总体参数偏大或偏小的情况，则采用双侧检验。如果所关心的是总体参数是否比某个值偏大(或偏小)，则宜采用单侧检验。

第二步: 选择适当的统计量，并确定其分布形式。

在参数的假设检验中，如同在参数估计中一样，要借助于样本统计量进行统计推断。用于假设检验问题的统计量称为检验统计量。在具体问题里，选择什么统计量作为检验统计量，需要考虑的因素与参数估计相同。例如，用于进行检验的样本是大样本还是小样本，总体方差已知还是未知，等等。在不同的条件下应选择不同的检验统计量。

第三步: 选择显著性水平α，确定临界值。

显著性水平表示H0为真时拒绝H1的概率。假设检验是围绕对水平假设内容的审定而展开的。如果原假设正确我们接受了原假设(同时也就拒绝了备择假设)，或原假设错误我们拒绝了原假设(同时也就接受了备择假设)，这表明我们做出了正确的决定。但是，由于假设检验是根据样本提供的信息进行推断的，也就有犯错误的可能。有这样一种情况，原假设正确，而我们却把它当成错误的加以拒绝。犯这种错误的概率用α表示，统计上把α称为假设检验中的显著性水平(significant level)，也就是决策中所面临的风险。所以，显著性水平是指当原假设正确时人们却拒绝了它的概率或风险。这个概率是由人们确定的，通常取α=0.05或α=0.01，这表明，当做出接受原假设的决定时，其正确的可能性(概率)为95%或99%，即拒绝原假设所冒的风险，用α表示。假设检验应用小概率事件实际极少发生的原理，这里的小概率就是指α。给定了显著性水平α，就可由有关的概率分布表查得临界值，从而确定H0的接受区域和拒绝区域。临界值就是接受区域和拒绝区域的分界点。

对于不同形式的假设，H0的接受区域和拒绝区域也有所不同。双侧检验的拒绝区域位于统计量分布曲线的两侧; 左侧检验的拒绝区域位于统计量分布曲线的左侧; 右侧检验的拒绝区域位于统计量分布曲线的右侧，如图6-1所示。

图6-1 假设检验的接受区域和拒绝区域

第四步: 做出结论。

根据样本资料计算出检验统计量的具体值，并用以与临界值比较，做出接受或拒绝原假设H0的结论。如果检验统计量的值落在拒绝区域内，说明样本所描述的情况与原假设有显著性差异，应拒绝原假设; 反之，则接受原假设。

6.1.3 假设检验的小概率原理

假设检验的基本思想是应用小概率的原理。所谓小概率原理，是指发生概率很小的随机事件在一次实验中是几乎不可能发生的。根据这一原理，可以做出是否接受原假设的决定。例如，有一个厂商声称其产品的合格率很高，可以达到99%，那么从一批产品(如100件)中随机抽取1件，这一件恰好是次品的概率就非常小，只有1%。如果厂商的宣称是真的，随机抽取1件是次品的情况就几乎是不可能发生的。但如果这种情况确实发生了，我们就有理由怀疑原来的假设，即产品中只有1%次品的假设是否成立，这时就可以推翻原来的假设，可以做出厂商的宣称是假的这样一个推断。我们进行推断的依据就是小概率原理。当然，推断也可能会犯错误，即这100件产品中确实只有1件是次品，而恰好在一次抽取中被抽到了。所以这个例子中犯这种错误的概率是1%，也就是说我们在冒1%的风险做出厂商宣称是假的这样一个推断。由此也可以看出，这里的1%正是前面所说的显著性水平。