莱布尼茨的微积分探索与符号系统革新

1646年,莱布尼茨出生于德国的莱比锡。那时候德意志还没有统一,由1000多个自治单元组成,经历了30年战争,直到1648年才结束。莱布尼茨的父亲是莱比锡大学的哲学教授,在其6岁时就去世了。但他注定是个伟大的数学家,8岁时就开始阅读父亲图书馆中的藏书,可以熟练地阅读拉丁文书籍。

在当时的德国,即便是欧几里得的初等几何也是一门高等学科,通常只是在大学阶段才开始学习。然而当莱布尼茨10岁时,他的老师就把亚里士多德于2000年前提出的逻辑系统介绍给了莱布尼茨,这门学科唤起了他的数学激情。他有个奇思妙想,希望寻求一张特殊的字母表,其元素表示的不是声音而是概念。有了这样的一个符号系统,我们就可以发出一种语言,我们仅凭符号演算,就可以确定用这种语言写成的哪些句子为真,以及它们之间存在着什么样的逻辑关系。

除了数学,莱布尼茨对法学也有研究。而事实上,莱布尼茨在莱比锡写的学士论文就是关于亚里士多德形而上学的,他还获得了一个法律学士学位,在一次论文中他强调系统性的逻辑在法律方面的应用。在继续法律研究的过程中,莱布尼茨为获得莱比锡大学的法律博士学位所写的一篇论文当中,他的主要观点就是用推理来解决那些用一般方法难以处理的法律案件。由于种种原因,莱比锡大学没有接受这篇论文,于是他就把论文转交给纽伦堡附近的阿特道夫(Altdorf)大学,在那里他的论文获得一致的好评。

30年战争使得法国成为欧洲大陆的霸主。坐落于莱茵河畔的美因茨在战争期间就偿到过被军事占领的滋味。因此,美因茨人非常清楚阻止敌人采取军事行动以及与法国保持良好关系的重要性。正是在这种情况下,莱布尼茨策划说服路易十四及其幕僚意识到把埃及作为军事目标的巨大利益。莱布尼茨于1672年来到巴黎,并在1673年访问伦敦时展示了一台能够执行四种算术基础运算的计算机模型,这使得他被一致推选为伦敦皇家学会会员。这台机器包括一个关键部件——莱布尼茨轮,直到20世纪,这一部件仍在计算装置上被普遍使用。

莱布尼茨的机器只能做普通的算术,但他却把握住了机器演算更为深广的含义。1674年,他描述了一种能够解代数方程的机器。一年之后,他为这种机器装置写了相应的逻辑推理,即把推理还原为一种演算,并且最终制成能够完成这些演算的机器。1675年,莱布尼茨即将离开巴黎,就在这一年的最后几个月中,他用极限过程实现了概念和计算上的一连串突破,所有这些工作即被称为他所发明的“微积分”。

莱布尼茨发现,计算面积和变化率的问题从某种意义上说很有代表性,因为许多不同种类的问题都可以还原为这两类问题中的某一类。例如,确定体积和重心的问题属于第一类问题,而计算加速度和边际弹性的问题属于第二类问题。(www.xing528.com)

他还认识到,求解这两类问题的数学运算实际上彼此互为逆运算,这在很大程度上就如同加法和减法,乘法和除法之间彼此互为逆运算一样。今天这些运算分别被称为积分和微分,他们彼此相反即我们熟悉的“微积分基本原理”。

莱布尼茨为这些运算发明了一套恰当的符号运算系统(这些符号一直沿用至今),∫表示积分,d表示微分。(表示积分的符号∫其实是字母“S”的变形,暗示“和”(sum);符号“d”暗示“差异”(difference))。

这些发现把对极限过程的应用从一种只有少数几位专家能懂的奇特方法,变成了一种可以在教科书中向成千上万人讲授的直截了当的技巧。∫和d这些符号并不像一种语音符号系统那样代表着毫无意义的声音,而是代表着概念,人们通过一定的思维计算训练,可以不必考虑符号所代表的含义,就能够计算出表达式的结果,从而使这种符号推演的方法充满了独特的魅力。关于牛顿和莱布尼茨之间各自独立发明微积分的过程,并相互之间口诛笔伐已有很多记载。但在积分中所使用的一些技巧(如:置换法)在莱布尼茨的符号系统里实际上是必然出现的,而在牛顿的符号系统中则更为复杂。甚至有人指出,由于盲目地固守其民族英雄的方法,牛顿的英国追随者们对微积分的发展远远落后于其同时代的大陆同行。

莱布尼茨少年时的奇思妙想,即找到一个人类思想的真正符号系统以及操纵这些符号的恰当的演算工具的梦想是怎样的呢?他很清楚,算术和代数中使用的特殊符号、化学和天文学中使用的符号以及他为微积分运算所引入的符号都提供了范例,说明一个真正合适的符号系统是多么重要。他使这样一个符号系统成为真实的文字,每个符号都以一种自然而恰当的方式表示某个确定的观念。他认为,我们需要的是一个不仅真实,而且包含了人类全部思想领域的符号系统。莱布尼茨称算术和代数表明了一个恰当的符号系统的重要性。他认为我们今天在使用的以0～9这几个数字为基础的阿拉伯符号系统,对日常计算来说,大大优于早先的罗马数字系统。当他发现任何数都可以仅仅用0和1表示出来即二进制时,他被这一系统的简洁所震撼。他坚信揭示出数的深层性质是有用的。尽管这一信念在当时最终未能证明其合理,但考虑到这种二进制记法与现代计算机之间的关联,莱布尼茨的这种想法是非同寻常的。

莱布尼茨的宏伟计划主要分为三部分。首先,在合适的符号被选择出来之前,有必要创造一套涵盖人类知识全部范围的纲要或百科全书。一旦完成了这一步,对其背后的关键观念进行选择,并为其中的每一个提供恰当的符号就成为可能。最后,演绎规则可以还原为对这些符号的操作,也就是所谓的“推理演绎”,或者“符号逻辑”。今天看来,莱布尼茨在当时是很难凭借一己之力完成这样宏大的计划的,但让我们难以理解的是,他是如何能够坚定地相信我们所处的复杂世界最终可以归结为一种符号演算的。