资金时间价值计量方法探析

（一）一次性收付款项终值和现值的计算

一次性收付款项是指在某一特定时点上一次性支付或收取，经过一段时间后再相应地一次性收取或支付的款项。终值又称将来值，是现在一定量现金在未来某一时点上的价值，又称本利和。现值又称本金，是未来某一时点上的一定量现金折合到现在的价值。例如，某人年初存入银行100元，年利率为10%。该笔存款年末取出时为110元。这就属于一次性收付款项。一年后的本利和110元即终值。一年后的110元折合到现在的价值是100元，即现值。

1.单利终值和现值的计算

单利是指只对本金计息，所生利息不加入本金计息的一种计息方式。单利终值的一般计算公式为

式中，P为现值，即0年（第一年年初）的价值；F为终值，即第n年年末的价值；i为利率；n为计息期数。

【例2-1】　李先生将1 000元现金存入银行，单利计息，年利率为3%，请问：3年后能得到多少本利和？

解：

单利现值的计算与单利终值的计算是互逆的。由终值求现值称为贴现。单利现值的一般计算公式为

【例2-2】　李先生打算现在再存入银行一笔钱，以便5年后能够一次性地从银行取出50 000元。假设银行采用单利计息，年利率为5%，请问：现在需要存入多少钱？

解：

2.复利终值和现值的计算

复利是指不仅对本金计息，所生利息也要加入本金一起计息的一种计息方式。复利的终值是一定量的本金按复利计算若干期后的本利和。复利终值的一般计算公式为

式中，P为现值，即0年（第一年年初）的价值；F为终值，即第n年年末的价值；i为利率；n为计息期数。

【例2-3】　王先生在银行存入5年期定期存款20 000元，年利率为7%。5年后的本利和是多少？

解：

复利现值是复利终值的逆运算，是今后某一特定时间收到或付出的一笔款项，按折现率所计算的现在时点价值。其计算公式为

在上述公式中，（1＋i）n和（1＋i）－n分别为复利终值系数和复利现值系数，分别用符号表示为（F/P，i，n）和（P/F，i，n）。其数值可以通过查阅复利终值系数表和复利现值系数表得到（见本书附录）。

【例2-4】　某项投资4年后可得收益40 000元，若年利率为6%，则其现值是多少？

解：

（二）年金终值和现值的计算

年金是指一定时期内每次等额收付的系列款项，通常用A来表示。年金包括普通年金（后付年金）、即付年金（先付年金）、递延年金和永续年金四种形式。普通年金是年金的基本形式，又称后付年金，是指从第1期起，在一定时期内每期期末等额收付的系列款项；即付年金又称先付年金，是指从第1期起，在一定时期内每期期初等额收付的系列款项，它与普通年金的区别是，是在每期期初发生的年金；递延年金是从第2期或第2期以后才开始发生的年金，它与普通年金的区别是存在递延期；永续年金的收付期趋向于无穷大，是没有终止期的普通年金。年金的四种形式如图2－1所示。

图2-1　年金的四种形式

1.普通年金终值与现值的计算

（1）普通年金终值的计算。

普通年金终值犹如零存整取的本利和，是一定时期内每期期末收付款项的复利终值之和。其计算方法如图2－2所示。

图2-2　普通年金终值计算示意

式中，称为年金终值系数，记作（F/A，i，n），可以通过查阅“年金终值系数表”（见本书附录）获得。该表的第一行是利率i，第一列是计息期数n，相应的普通年金终值系数在其纵横交叉处。例如，可以通过查表获得利率为8%、期数为5期的普通年金终值系数（F/A，8%，5）为5.866 6。

偿债基金

【例2-5】　某人于每年年末存入银行10 000元，连续存5年，年利率为10%，则5年期满后，该人可得到的本利和是多少？

解：

第5年年末的终值=10 000×（1＋10%）0=10 000（元）

第4年年末的终值=10 000×（1＋10%）1=11 000（元）

第3年年末的终值=10 000×（1＋10%）2=12 100（元）

第2年年末的终值=10 000×（1＋10%）3=13 310（元）

第1年年末的终值=10 000×（1＋10%）4=14 641（元）第1年租金的现值=10 000×[1÷（1＋10%）1]≈9 091（元）第2年租金的现值=10 000×[1÷（1＋10%）2]≈8 265（元）第3年租金的现值=10 000×[1÷（1＋10%）3]≈7 513（元）第4年租金的现值=10 000×[1÷（1＋10%）4]≈6 830（元）第5年租金的现值=10 000×[1÷（1＋10%）5]≈6 209（元）

5年期满后的本利和=10 000＋11 000＋12 100＋13 310＋14 641=61 051（元）

或直接按普通年金终值计算公式计算，即

5年期满后的本利和=10 000×（F/A，10%，5）=10 000×6.105 1=61 051（元）

（2）普通年金现值的计算。

普通年金现值是一定时期内每期期末收付款项的复利现值之和。其计算方法如图2－3所示。

图2-3　普通年金现值计算示意

普通年金现值的计算公式为

式中，P为普通年金现值；i为折现率；n为期数；[1－（1＋i）－n]/i通常称为年金现值系数，记作（P/A，i，n），其数值可通过直接查阅年金现值系数表得到（见本书附表）。

投资回收额

【例2-6】　某企业出租一项资产，期限为5年，于每年年末收取租金10 000元。若按年利率10%计算，则该企业5年租金的现值是多少？

解：

该企业5年租金的现值=9 091＋8 265＋7 513＋6 830＋6 209=37 908（元）或直接按普通年金现值计算公式计算，即

5年租金的现值=10 000×（P/A，10%，5）≈10 000×3.790 8=37 908（元）

【例2-7】　某投资项目当年动工，当年投产。该投资项目从投产之日起每年可得收益40 000元。若按年利率6%计算，则预期10年的收益现值是多少？

解：

2.即付年金终值和现值的计算

（1）即付年金终值是指每期期初收付的年金未来总价值，即各期期初收付款项的复利终值之和。

计算方法一：即付年金终值计算示意如图2－4所示。

图2-4　即付年金终值计算示意

在图2－4中，在0时点之前虚设一期，起点为0′，同时在第5年年末虚增一期年金A，这样期数为5期的即付年金就转变为期数为6期的普通年金，按照普通年金终值计算方法计算出终值后，再将虚增的那期年金A扣除。因此，期数为5期的即付年金终值的计算公式为

同理，期数为n期的即付年金终值的计算公式可以表示为

式中，[（F/A，i，n＋1）－1]表示即付年金终值系数，与普通年金终值系数的关系为：即付年金终值系数是在普通年金终值系数的基础上期数加1、系数减1（简称为“期数加1、系数减1”）。

计算方法二：即付年金终值计算示意如图2－5所示。

在图2－5中，在0时点之前虚设一期，起点为0′，这样即付年金就变成了普通年金（从0′到4为5年期普通年金）的形式，先计算在4时点的普通年金终值，然后按单笔资金终值计算方法计算在5时点的资金价值，即期数为5期的即付年金终值的计算公式为

图2-5　即付年金终值计算示意

同理，期数为n的即付年金终值的计算公式可以表示为

式中，（F/A，i，n）×（1＋i）是即付年金终值系数，其与普通年金终值系数的关系为：即付年金终值系数是在普通年金终值系数的基础上乘以（1＋i），简称为系数×（1＋i）。

【例2-8】　某企业连续6年于每年年初存入银行30 000元。若银行存款利率为5%，则该企业在第6年年末能一次取出的本利和是多少？(www.xing528.com)

解：

（2）即付年金现值。

计算方法一：即付年金现值计算示意如图2－6所示。

图2-6　即付年金现值计算示意

在图2－6中，先将第1期期初的年金A去掉，这样期数为5期的即付年金就转变为期数为4期的普通年金，按普通年金现值计算方法计算出现值后再将去掉的那期年金A加上。因此，期数为5期的即付年金现值的计算公式为

同理，期数为n的即付年金现值的计算公式可以表示为

式中，[（P/A，i，n－1）＋1]表示即付年金现值系数，与普通年金现值系数的关系为：即付年金现值系数是在普通年金现值系数的基础上期数减1、系数加1（简称为期数减1、系数加1）。

计算方法二：即付年金现值计算示意如图2－7所示。

在图2－7中，在0时点之前虚设一期，起点变为0′，这样即付年金就变成了普通年金（从0′到4为5年期普通年金）的形式，先计算在0′时点的普通年金现值，然后按照单笔资金的终值计算方法计算在0时点的资金价值。因此，期数为5期的即付年金现值的计算公式为

图2-7　即付年金现值计算示意

同理，期数为n的即付年金现值的计算公式可以表示为

式中，（P/A，i，n）×（1＋i）就是即付年金现值系数，与普通年金现值系数的关系为：即付年金现值系数是在普通年金现值系数的基础上乘以（1＋i），简称为系数×（1＋i）。

【例2-9】　某公司租用一台生产设备，租期为5年，于每年年初支付租金20 000元。若年利率为8%，则5年租金的现值是多少？

解：

3.递延年金终值和现值的计算

（1）递延年金的终值。递延年金是指第一次收付发生在第2期或若干期以后的年金。递延年金是普通年金的特殊形式。很显然，递延年金终值与递延期无关，其计算与普通年金相同。图2－8所示为递延年金，如果将递延期（前m期）去掉，就成为普通年金的形式。因此，在计算递延年金终值时，按照普通年金终值计算即可。

图2-8　递延年金示意

（2）递延年金现值的计算方法一般有以下几种：

计算方法一：两次折现法。

如图2－9所示，先将递延年金视为n期普通年金，计算在第m期期末的普通年金现值，然后再折算到第1期期初。

图2-9　递延年金现值计算示意（1）

计算方法二：先加上，后减去。

如图2－10所示，先把递延期每期期末都加上一个A，这样递延年金就成为m＋n期的普通年金。计算出这个普通年金的现值后，再把多加的年金减掉，即减去m期的普通年金现值。

图2-10　递延年金现值计算示意（2）

计算方法三：先计算终值，再计算现值。

如图2－11所示，先计算递延年金的终值，再计算复利现值。

图2-11　递延年金现值计算示意（3）

【例2-10】　某企业向银行借入一笔资金，年利率为10%，5年后开始分5年于每年年末向银行偿付本息10 000元。那么，该笔借款的现值计算如下：

解：

4.永续年金现值的计算

永续年金是指无限期收付的年金等。永续年金没有终值，只有现值。其现值的计算公式为

【例2-11】　有7人想设立高校奖学金，拟每年年末拿出100 000元来奖励优秀生。若年利率为10%，那么这些人现在应向银行存入多少钱？

解：

（三）不等额收付款项终值和现值的计算

人们在实际经济活动中会经常遇到每次收付款项不相等的情况，这时就不能直接利用年金终值和现值的计算公式来计算，而必须利用不等额收付款项终值或现值的计算公式来计算。

不等额收付款项终值的计算公式为

不等额收付款项现值的计算公式为

【例2-12】　某企业有一项投资。该项投资5年的收益分别为2 000元、3 000元、4 000元、5 000元、6 000元。若投资报酬率为8%，则各年收益的现值之和是多少？

解：

（四）计息期短于1年的时间价值

在企业的投融资和借贷活动中，经常出现复利的计息期间不是一年的情况，有可能是季度、月或日。例如，有些债券半年计息一次、有些抵押贷款每月计息一次、银行之间拆借资本每天计息一次。如果按年计息，一年为一个计息期；如果按季度计息，一季度为一个计息期，会计计息4次。计息期越短，一年中按复利计息的次数就越多，每年的利息额就会越大。这就需要明确三个概念：报价利率；计息期利率；有效年利率。

1.报价利率

报价利率又称名义利率，是银行等金融机构在为利息报价时，提供的年利率。在提供报价利率时，必须同时提供每年的复利次数（或计息的天数），否则意义是不完整的。

2.计息期利率

计息期利率是指借款人对每1元本金每期支付的利息。它可以是年利率，也可以是半年利率、季度利率、每月或每日利率等。可根据每年的复利次数，把报价利率换算为计息期利率，公式为

式中，r表示计息期利率；R表示名义利率；m表示每年的复利次数；n表示年数；t表示换算后的计息期数。

3.有效年利率

在按照给定的计息期利率和每年复利次数计算利息时，能够产生相同结果的每年复利一次的年利率被称为有效年利率，或实际利率。有效年利率可以由报价利率求得，该过程也称为名义利率与实际利率的换算，计算公式为

式中，i表示实际利率；其他符号意义同上。

因此，计算计息期短于1年的时间价值，通常有以下两种方法：

方法一：将名义利率调整为实际利率，然后按实际利率计算时间价值。

方法二：不计算实际利率，直接换算计息期数与计息期利率，利用计息期利率计算时间价值。

【例2-13】　某人于年初投资80 000元，在年利率8%、每季度复利计息一次的情况下，到第5年年末，该人能得到的本利和是多少？

解：用方法一计算本利和。

（2）用方法二计算本利和。

（五）折现率的计算

在前面计算现值和终值时，都假定利率是给定的，但在财务管理中，经常会遇到已知计息期数、终值和现值，求利率（折现率）的问题。

一般来说，求折现率可以分为两步。

第一步，求出换算系数。根据前面有关公式，复利终值、复利现值、年金终值和年金现值的换算系数分别用下列公式计算：

第二步，根据换算系数和有关系数表求折现率。查找对应的系数表，找出与换算系数最接近的两个系数及对应的利率，用插值法计算折现率。

【例2-14】　某企业于第1年年初将40 000元存入银行，在银行一年复利一次的情况下，计算存款年利率为多少时才能保证在以后10年中每年年末取出6 000元。

解：