优先关系的搭接与拓展——从完成-开始到更一般的逻辑关系

通常，项目的一系列任务及其相互关系可以表示为一个节点式（activityon-node，AON）有向网络，或称为单代号网络。在AON网络中，每一节点表示一个任务，箭线则表示任务之间的逻辑关系。图2.2给出了一个AON网络的示例。其中，节点3和节点6之间的箭线表明任务3完成之后任务6才可以开始，这就意味着任务3和任务6之间存在着优先关系（precedence relation），而任务3即称为任务6的紧前任务（immediate preceding activity），任务6为任务3的紧后任务（immediate succeeding activity）。一项任务可以有多个紧前任务，如图2.2中的任务6，这意味着该项任务必须在其所有紧前任务完成后才可以开始；一项任务也可以有多个紧后任务，如图2.2中的任务3。

图2.2　节点式项目网络图

通常情况下，为方便项目调度算法，要求对项目网络图中的各节点依次编号。原则上要求编号小的任务可以是编号大的任务的前导任务（preceding activity），但编号小的任务不可以是编号大的任务的后续任务（succeeding activity）。

此外，通常任务1（或任务0）是一个虚拟任务（dummy activity），不需要任何资源，工期为0，没有任何紧前任务，是唯一的起始任务（start activity）。如果项目的任务数量记为J，则项目的最后一个任务，即任务J，也要求是一个虚拟任务，不需要任何资源，工期为0，没有任何紧后任务，并且是唯一的结束任务（end activity）。因此，一般设定任务1的开始时间为0，这时任务J的完成时间cJ（或开始时间sJ）即等同于整个项目的完工时间。

AON网络图可以采用J×J的相邻矩阵（adjacency matrix）加以描述。如果AON网络节点编号遵循拓扑关系的话，对应的相邻矩阵必然是上三角形矩阵（upper triangular matrix）。图2.2所对应的相邻矩阵如图2.3所示。

图2.3　AON网络图的相邻矩阵

多数研究只关注如上所述的完成－开始型紧前关系，但上述紧前关系可以拓展到更一般的逻辑关系，即所谓的搭接关系（precedence diagramming constraint）。共有四种类型的搭接关系（Elmaghraby and Kamburowski，1992），如图2.4所示。

图2.4　四种类型的搭接关系

完成－开始型（finish-start，FS）表示任务B在任务A完成之前不能开始；完成－完成型（finish-finish，FF）表示B在A完成之前不能完成；开始－开始型（start-start，SS）表示B在A开始之前不能开始；而开始－完成型（start-finish，SF）则表示B在A开始之前不能完成。其中，FS型最为常见。FF型和SS型关系也很常见，可以表示某项任务与其紧后任务在某种程度上同时进行。(www.xing528.com)

在图2.4中，任务A和任务B之间存在搭接关系。但在某些情况下，要求任务B在任务A开始或完成一段时间之后才可以开始或完成，即两者之间存在着时间上的滞后。因此，可以进一步在上述搭接关系中引入时间滞后（time-lag）的概念。如果滞后量为负数，例如任务B在任务A完成之前一段时间即可以开始，则称为提前量（lead）。一般而言，可以将任务A与任务B之间存在的搭接关系表示为：

其中，X，Y∈{S，F}，lag为两项任务之间的滞后量，一般为整数，如果滞后量为负整数即表示提前量。式（2.6）即表示：任务B的事件Y，只能在任务A的事件X发生且经过一个滞后量lag之后，才可以发生。例如，lag=5表示任务A开始并经过5个单位时间之后，任务B才可以完成；而lag=−5则表示任务A开始之前的5个单位时间之后，任务B才可以完成。

搭接关系拓展了传统的优先关系，可以描述更一般性的任务之间的关系。搭接关系在项目调度中引用了一些新的特性。例如，在传统项目网络图中，任务工期的缩短总是有利于提前完成项目总工期。但是当存在搭接关系时，缩短一个任务的工期可能反而导致项目总工期的延长，在某些情况下甚至导致项目网络图是不可行的（Elmaghraby，1995）。毫无疑问，搭接关系增加了项目调度的复杂性。如果不特别注明，本书所指称的优先关系仍然是传统的lag=0的搭接关系。

任务之间的逻辑关系也可以采用箭线式（activity-on-arrow，AOA）网络图表达。AOA网络图，又称双代号网络图，因为在箭线式网络中，任务由连接两个节点的箭线表示，每个任务因此就可以采用这两个节点的数字来标识。相应地，AON网络图则被称为单代号网络图。在我国，AOA网络图应用相当普遍。AOA网络适用于对项目现金流的分析。图2.2中AON网络所表示的项目也可以采用图2.5所示的AOA网络图进行描述。在该AOA网络图中，箭线1－2表示原AON网络图中的任务1（节点1），箭线2－3表示任务2，箭线3－4表示任务3，以此类推，箭线7－8表示任务8。值得注意的是，在AOA网络中经常存在虚拟任务，如图中的箭线4－6和箭线5－6。这是因为在AOA网络中两个节点之间只允许存在一条箭线，为了区分平行的任务5（箭线4－7）和任务6（箭线6－7），需要额外的虚箭线加以表示。

图2.5　箭线式项目网络图

对项目网络图的详细说明可以参考综述（Elmaghraby，1995）。在本书中，如果不特别注明，所采用的网络图均为AON网络图。

在一般的项目网络图中不允许出现回路（loop）和反馈。但在图解评审技术（graphic evaluation and review technique，GERT）中可以突破上述限制（Moore and Taylor，1977；Taylor and Moore，1980）。此外，在产品开发类项目中，近年来越来越多地采用设计结构矩阵（design structure matrix，DSM）或依赖结构矩阵（dependency structure matrix，DSM）分析任务之间的逻辑关系与信息传递，而其中一般都存在一定数量的反馈（Chen et al.，2003；Maheswari and Varghese，2005）。