布朗运动过程是描述连续小噪音累积过程的基本模型，而泊松过程则是描述间断性突发信息过程的基本模型。所以，可以用布朗运动来描述权益资产价值变化的连续部分，而用泊松过程来描述其跳跃部分。此时，泊松过程刻画的就是引起权益资产价格跳跃的重大信息冲击。假设这些冲击是独立同分布的，那么在时间间隔t上，跳跃发生的概率就可以用泊松分布来描述。
泊松过程是一类特殊的计数过程，按照其所服从分布的参数是否为常数，可分为齐次泊松过程和非齐次泊松过程。本章主要讨论满足齐次泊松过程的跳跃变化，下一章将拓展到非齐次泊松过程。泊松过程的定义如下:
定义3.1 齐次泊松过程:如果随机过程具有下述特性，则称其为泊松过程:
(1)N(0)＝0；
(2)阶梯函数路径:{N(t)，t≥0}的路径是t的递增函数，且每次跳跃的幅度为1；
(3)独立增量函数:对任意的{N(t)，t＞s≥0}，N(t)-N(s)独立于过程过去的状态N(u)，0≤u≤s；
(4)泊松增量:N(t＋s)-N(s)(t，s≥0)服从参数为λ(＞0)的泊松分布:
由泊松过程的定义可以推导出其数学期望和方差为:EN(t)＝Var(N(t))＝λt。如果参数λ(＞0)不是常数，而是时间t的函数，那么齐次泊松过程便推广为非齐次泊松过程。
定义3.2 非齐次泊松过程:如随机过程具有下述特性，则称其为非齐次泊松过程:
(1)N(0)＝0；
(2)阶梯函数路径:{N(t)，t≥0}的路径是t的递增函数，且每次跳跃的幅度为1；
(3)独立增量函数:对任意的{N(t)，t＞s≥0}，N(t)-N(s)独立于过程过去的状态N(u)，0≤u≤s；
(4)非齐次泊松增量:N(t＋s)-N(s)(t，s≥0)服从参数为λ(u)(＞0)的泊松分布:(www.xing528.com)
由泊松过程的定义可以推导出其数学期望和方差为:
前一章已经对布朗运动和伊藤过程的各种特性进行了分析。正是因为这些的良好特性，使得布朗运动和伊藤过程在金融资产定价的研究中得到了较为广泛的运用。而在本章中，资产价值的运动轨迹不再是单纯的扩散运动，跳跃变化会时有发生。在这种情况下，必须进一步考察资产价值运动的鞅性是否仍然成立。在资产定价分析中，伊藤引理是否继续可用?如何求解基于伊藤过程和泊松过程的随机微分方程?在回答这些问题前，必须明确几个与鞅有关的数学定义[1]。
定义3.4 局部鞅:M(t)为一个适应过程，若存在一系列停时τn，使得当τn→∞时，对每个n，停时过程M(t∧τn)是t的一致可积鞅，称适应过程M(t)为局部鞅。
所有的鞅过程都是一个局部鞅，显然布朗运动和Ito过程都是鞅过程，因此也是局部鞅过程。但是局部鞅过程却不一定是一个鞅过程。
定义3.5 有限变差过程:如果随机过程M(t)的变差函数VM(t)＜∞，M(t)就是一个有限变差过程。
所以，泊松过程N(t)是一个有限变差过程。
定义3.6 半鞅:如果一个右连续左极限存在的正则适应过程S(t)可以表示为一个局部鞅M(t)和一个有限变差过程A(t)的和，即:S(t)＝S(0)＋M(t)＋A(t)，且M(0)＝A(0)＝0，那么称过程S(t)为一个半鞅。
泊松过程是一个有限变差过程，由定义3.6可知，它是一个半鞅。同样，伊藤过程是一个局部鞅，也是一个半鞅。因此，由泊松过程和伊藤过程构成的随机过程是一个半鞅过程。当我们将泊松跳跃因子引入扩散过程中后，原有的鞅过程将转变为半鞅过程，随之发生变化的还有伊藤(Ito)引理的半鞅形式。
定理3.2 半鞅的伊藤(Ito)引理[2]:令X(t)为一个半鞅，f为二阶连续可微函数，那么f(X(t))是一个半鞅且有如下伊藤公式成立:
令[X，X]c表示[X，X]的连续部分，故式(3.4)的等价形式为:
根据半鞅的定义和半鞅的Ito引理可以直接推导出带跳跃项的随机微分方程闭式解的表达式。
定理3.3 半鞅的随机指数:若X是一个半鞅，那么随机微分方程:
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