股票期权价格模型优化

本节讨论股票期权的行权价确定问题。

财政部发布的《公司会计准则第11号——股份支付》规定“对于不存在活跃市场的期权等权益工具，采用期权定价模型确定其公允价值”，要求选用的期权定价模型至少应当考虑期权的行权价格、有效期、标的股份的现行价格、股份预计波动率、股份的预计股利以及期权有效期内无风险利率等变量。但是，财政部的该规定并未明确采用或者推荐具体的期权定价模型。

股票期权类型非常多，一种常见分类是美式、欧式、亚式股票期权。欧式股票期权只能在股票期权到期日当天行权。美式股票期权可以在到期日当天或之前任一交易日行权。亚式股票期权又称平均价格股票期权，由美国银行家信托公司（Bankers Trust）在日本东京推出，其行权价格为行权日前半年股票价格的平均价格。亚式股票期权属于奇异期权的一种，亚式股票期权可以基本消除股票价格操纵空间，增加期权作弊的难度。

期权的行权价需要期权定价模型来确定。期权类型多意味着期权定价模型多。在数学上，期权类型的设计几乎是无限的。期权定价理论发展到今天，已经成为欧美Financial Engineering、Financial Mathematics、Mathematical Finance以及Computational Finance下的一个专门研究方向。研究者们提出大量期权定价模型，如H-N模型（Heston-Nandi GARCH Option Pricing Model）、基于机器学习与数据挖掘的期权定价等。

此处介绍最早出现的期权定价模型——Black-Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model）。

1997年诺贝尔经济学奖授予迈伦·斯克尔斯（Myron Scholes）、罗伯特·默顿（Robert Merton），斯克尔斯的合作者布莱克因离世而未能获奖。斯克尔斯与布莱克（Fischer Black）在20世纪70年代合作提出一个期权定价模型，即Black-Scholes期权定价模型，与此同时默顿（Merton）也发现类似公式，两篇论文几乎同时在不同刊物上独立发表。两篇论文的区别之一是斯克尔斯与布莱克的论文只讨论不分红情况，而默顿的论文同时处理不分红与分红两种情况。因此，Black-Scholes定价模型应该称为Merton-Black-Scholes模型。Black-Scholes期权定价模型在原始文献中的推导相当复杂，出现一些简化推导，其中文献[50]给出红利为定值条件下 Black-Scholes期权定价模型的一个推导比较简单，感兴趣的读者可以下载阅读。

适用于欧式看涨期权情形的Black-Scholes期权定价模型数学形式为：(www.xing528.com)

式中：C为模型对未来时刻T股票价格的估计，S0为进行计算时的股票价格，K为行权价（Exercise price/strike price）。期权有效期时段为T（代入模型计算时，需要将期权有效期天数除以365天，举例设期权有效期为100天，则T＝100/365＝0.274）。r为无风险利率，往往使用中长期国债利率或者多年银行平均利率计算，无风险利率采用连续复利形式。利率一般是一年计息一次（用r0表示），转换为连续复利利率方能代入模型计算，换算关系为：r＝ln（1＋r0）或r0＝exp（r）－1，例如r0＝0.06，则r＝ln（1＋0.06）＝0.058 3。股票期望收益率为μ，股票价格波动率为σ，通常为某段历史时期的数据计算得到。N（d1）和N（d2）指标准正态分布曲线X轴取d1、d2两个值时对应Y值。

模型主要假设包括：① 交易成本和税金为零；② 期权到期之前，股票不支付红利；③ 股票交易可双向进行，无卖空限制。卖空（Sell Short or Bear）指投资者预测过一段时间，某种股票价格看跌，于是借入一定数额该股票抛出，该股票价格下跌时再以更低价格买进相同数额股票归还给股票出借方，投资者赚取高抛低吸差价。④ 股票价格 S服从对数正态分布。

上述模型解决的问题是无套利空间前提下，计算股票的某个看涨期权价格，使期权的期望报酬率与无风险资产报酬率相等。所谓无风险资产通常指中长期国债。无风险资产报酬率指中长期国债利率或者多年银行平均利率。

B-S模型的有效性有一些经验检验。1977年以色列Hebrew University Of Jerusalem学者Dan Galai在Tests of Market Efficiency of the Chicago Board Options Exchange一文中，使用芝加哥证券交易所的期权数据，对B-S模型的有效性进行经验检验，之后也有不少类似检验工作。相关检验工作得到一些普遍看法：B-S模型对临近行权期的股票价格预测与市场实际价格存在较大偏离，其余时间段的预测相对可靠。

出现上述现象的原因在于B-S模型有些假设与现实偏离较大，具体如：① 假设股票价格股价分布服从对数正态分布，实际上股价变动普遍存在突发事件引起的剧烈波动。② 假定股票价格方差不变，而实际情况是，随着股票价格上升，股票价格方差一般会下降。③ 连续交易假设不符合多数实际情况。理论上，投资者可以连续调整持有的股票期权头寸状况，得到无风险资产组合。但实践中，多数投资者由于资本量、时间、信息以及心理原因，往往难以按同一的无风险利率借入或贷出资金，而且股票频繁买入卖出必然会增加交易成本。

B-S模型有不少改进，如文献[51]讨论利率、波动性、红利等期权价格影响因素动态变化时，Black-Scholes期权定价模型如何修正问题。但是，B-S模型作为最早被提出的期权定价模型，一方面有必要了解，另一方面该模型在某些场合下仍然适用。