应用实例：同时变化因素下内部收益率求解析表达式

某项目投资100万元，从第一年起，在10年的寿命周期内，每年可获得50万元的收入，须每年支付经营成本22万元。影响该项目风险的不确定因素（风险元）有项目初始投资、年经营成本、年销售收入，这三个风险元同时影响，通过上述解析模型对内部收益率进行经济评价。步骤如下：

（1）用内插法求出基本投资方案的内部收益率IRR0＝25%。

（2）求出各不确定因素同时变化时内部收益率的解析表达式。设：项目初始投资值为A＝100，年经营成本值为B＝22，年销售收益值为C＝50，其变化率分别为x1、x2、x3。则内部收益率的解析表达式为：

为了计算简便，令（1+IRR）-1＝y，则式（3.44）可改写为：

由全微分法求得在（0，0，0）处的全微分：

当各个风险元变化率x1，x2，x3不大时，x1，x2，x3可近似等于dx1，dx2，dx3，则式（3.46）可改写为：

由隐含数可微性定理求得：

当x1＝0，x2＝0，x3＝0时，y＝0.8，则：

同理可求得：

则目标函数的解析表达式可写成：

dy＝0.2017x1+0.1655x2-0.3762x3

这里假设各个风险元变化量的概率分布满足标准正态分布且相互独立，即特征参数E（xi）＝0和D（xi）＝1，根据：

E（dy）＝0.2017E（x1）+0.1655E（x2）-0.3762E（x3）＝0(www.xing528.com)

D（dy）＝0.20172D（x1）+0.16552D（x2）+0.37622D（x3）＝0.2096

从而推出y变化率的特征参数，则dy的概率密度函数为：

其dy的概率密度和概率分布分别如图3.11和图3.12所示。

由此可以得出ΔIRR的分布函数为：

若ΔIRR≤-1，则ΔIRR的概率分布函数为：

若ΔIRR＞-1，则ΔIRR的概率分布函数为：

若ΔIRR＝-1，dy无意义，这里不予考虑。

用Matlab绘出F（ΔIRR）的图形如图3.13和图3.14所示。

图3.11　dy的概率密度函数

图3.12　dy的概率分布函数

图3.13　ΔIRR＜-1时ΔIRR的概率分布函数

图3.14　ΔIRR＞-1时ΔIRR的概率分布