货币时间价值计算方法详解

在企业财务管理中，要正确进行财务决策就必须分析不同时点的现金流入和现金流出，并按要求计算货币时间价值，货币时间价值的计算有单利和复利之分。

（一）单利计算

单利是计算利息的一种方法，主要特点是对本金产生的利息不计息。单利计算包括计算单利利息、单利终值和单利现值。

1.单利利息计算

单利利息是指在规定的期限内只就本金所计算的利息，而对规定的期限内产生的利息不计算利息。其计算公式为

式中　I ——利息；

P ——现值；

i ——利率；

n ——计息期数。

【例2.1】　某人存入银行10 000 元资金，期限3 年，年利率为3%，则到期利息为

2.单利终值计算

单利终值是指按单利计算的某一特定资金额在一定时期期末的本利和。其计算公式为

式中　F ——终值；

P ——现值；

i ——利率；

n ——计息期数。

【例2.2】　某投资公司投资100 000 元购买利率为6%的债券，期限为3 年，按单利计算的债券终值为

3.单利现值计算

单利现值是将以后某一特定时期的资金按单利折算为现在的价值，单利现值的计算是单利终值的逆运算。其计算公式为

式中　F ——终值；

P ——现值；

i ——利率；

n ——计息期数。

【例2.3】　某人期望在5 年后得到300 万元的一笔资金，在年利率为4%的情况下，现在应存入银行多少资金？ 5 年后300 万元的现值为

P ＝300 万元/（1 ＋4% × 5 年）＝250 万元

（二）复利终值和现值计算

1.复利终值计算

复利终值是指本金在约定的期限内按一定的利率计算出的每期的利息，将其加入本金再计算利息，逐期滚算到约定期末的本金和利息总值。复利终值的一般计算公式为

式中　F——复利终值；

P——复利现值；

i——利息率；

n——计息期数；

（1＋i）n——复利终值系数，可用（F/P，i，n）来表示。

【例2.4】　现将10 000 元存入银行，利息率为3%，1 年复利1 次，5 年后的复利终值是多少？

解　F ＝P（1＋i）n＝10 000 元×（1＋3%）5

＝10 000 元×（F/P，3%，5）

＝10 000 元×1.159 3

＝11 593 元

其中，（F/P，3%，5）可以通过1 元复利终值系数表查得，该表见本书最后附表1。该表中，行中列示的是期数，列中列示的是利息率。观察该表你会发现，若期数相同，利息率越高，复利终值系数越大；若利息率相同，期数越长，复利终值系数越大。

2.复利现值计算

复利现值是复利终值的逆运算，是指未来一定时间的特定资金按复利计算现在价值，即为了未来取得一定的本利和现在需要投入的本金。根据F ＝P（1＋i）n可以推导出复利现值计算公式为

通过观察复利终值计算公式和复利现值系数公式，可以发现复利终值系数和复利现值系数互为倒数。

【例2.5】　某大学生计划在未来第3 年末得到10 000 元，利息率为3%，1 年复利1次，请问该大学生现在要向银行存入多少钱？

解　P ＝F（1＋i）－n

＝10 000 元×（1＋3%）－3

＝10 000 元（P/F，3%，3）

＝10 000 元×0.915 1

＝9 151 元

其中，（P/F，3%，3）可以通过1 元复利现值系数表查得，该表见本书最后附表2。该表中，行中列示的是期数，列中列示的是利息率。观察该表会发现，若期数相同，利息率越高，复利现值系数越小；若利息率相同，期数越长，复利现值系数越小。

3.不等额系列收付款项的复利终值与复利现值的计算

前面例题只涉及一次收付款的终值计算或现值计算。在实践中，经常会涉及一系列收付款复利终值计算或复利现值计算。

【例2.6】　某大学新生有个愿望，他希望在他大学4 年中每年末都能获得奖学金，他估计自己在4 年中分别获得的奖学金见表2.1，假设利息率为4%，1 年复利1 次，问这笔不等额奖学金的复利现值和复利终值各是多少？

表2.1　某大学新生奖学金计划表

解　P ＝2 000 元×（P/F，4%，1）＋5 000 元×（P/F，4%，2）＋6 000 元×（P/F，4%，3）＋8 000元×（P/F，4%，4）

＝2 000 元×0.961 5＋5 000 元×0.924 6＋6 000 元×0.889 0＋8 000 元×0.854 8

＝1 923.00 元＋4 623.00 元＋5 334.00 元＋6 838.40 元

＝18 718.40 元

F＝2 000 元×（F/P，4%，3）＋5 000 元×（F/P，4%，2）＋6 000 元×（F/P，4%，1）＋8 000 元

＝2 000 元×1.124 9＋5 000 元×1.081 6＋6 000 元×1.040 0＋8 000 元

＝2 249.80 元＋5 408 元＋6 240 元＋8 000 元

＝21 897.80 元

（三）年金计算

年金是指一定时期内每次等额收付的系列款项，通常记作A。年金有两个特点：第一，每期相隔时间相同；其二，每期收入或支出的金额相等。年金形式多种多样，如租金、折旧、保险费、等额分期收款、等额分期付款等都属于年金问题。年金按每次收付发生的时点不同，可分为普通年金、即付年金、递延年金、永续年金4 种。其中普通年金应用最为广泛，其他几种年金均是在普通年金的基础上推算出来的。

1.普通年金

普通年金是指从第一期起，在一定时期内每期期末等额发生的系列收付款项，又称后付年金。

1）普通年金终值的计算

普通年金终值是指每期期末收入或支出等额资金的复利终值之和。其计算公式为

【例2.7】　某公司拟在今后10 年中，每年年末存入银行10 000 元，银行存款利率为3%，10 年后的本利和是多少？

解　10 年后的本利和即普通现金终值：

F ＝10 000 元× （F/A，3%，10）＝10 000 元× 11.463 9 ＝114 639 元

2）偿债基金的计算

偿债基金是指为了在约定的未来某一时点清偿某种债务或积聚一定数额的资金而必须分次等额形成的存款准备金。每次形成的等额准备金类似年金存款，同样可以获得按复利计算的利息，债务实际上等于年金终值。偿债基金的计算是年金终值的逆运算。其计算公式为

【例2.8】　某公司拟在5 年后还清100 000 元债务，从现在起每年等额存入银行一笔款项。银行存款利率为3%，每年需要存入多少元？

解　A＝100 000 元×（A/F，3%，5）＝100 000 元×0.188 36 ＝18 836 元

或A＝100 000 元×［1/（F/A，3%，5）］＝100 000 元×（1/5.309 1）＝18 836 元

3）普通年金现值计算

年金现值是指一定时期内每期期末等额收付款项的复利现值之和。其计算公式为

【例2.9】　某公司租入某设备，每年年末需要支付租金5 000 元，年复利率为6%，则5 年内应支付租金总额的现值为

P ＝5 000 元× （P/A，6%，5）＝5 000 元× 4.212 4 ＝21 062 元(www.xing528.com)

4）年资本回收额的计算

资本回收是指在给定的年限内等额回收初始投入资本或清偿所欠的价值指标，是年金现值的逆运算。可直接查阅“年金现值系数表”得到年金现值系数后计算其倒数为资本回收系数。其计算公式为

【例2.10】　某公司以7%的利率借得200 000 元，投资某个寿命为10 年的项目，每年至少收回多少现金才合算？

解　A＝P/（P/A，i，n）＝200 000 元/7.023 6 ＝28 475.43 元

即每年至少收回现金28 475.43 元，才能还清贷款本息。

2.即付年金

即付年金是指从第一期起，在一定时期内每期期初等额发生的收付系列款项，又称先付年金。它与普通年金的区别仅在于付款时间的不同。

1）即付年金终值的计算

即付年金终值是其最后一期期末时的本利和，是各期收付款项的复利终值之和。n期即付年金与n 期普通年金的付款次数相同，但n 期即付年金终值比n 期普通年金终值多计算一期利息，因此，在n 期普通年金终值的基础上乘上（1＋i）就是n 期即付年金终值。其计算公式为

式中方括号内的内容称作“即付年金终值系数”，它是在普通年金终值系数的基础上，期数加1，系数值减1 所得的结果。通常记为［（F/A，i，n＋1）－1］，通过查阅“1 元年金终值表”得到（n＋1）期的值，然后减去1 便可得出对应的即付年金终值系数的值。

【例2.11】　某公司决定连续5 年于每年年初存入100 000 元作为住房基金，银行存款利率为3%。则该公司在5 年末能一次取出本利和为

F ＝A·［（F/A，i，n ＋1） － 1］

＝100 000 元× ［（F/A，3%，5 ＋1） － 1］

＝100 000 元× （6.468 4 － 1）＝546 840 元

或F ＝A × （F/A，i，n） × （1 ＋i）＝100 000 元× （F/A，3%，5） × （1 ＋3%）＝546 840 元

2）即付年金现值的计算

n 期即付年金现值与n 期普通年金现值的期限相同，但由于其付款时间不同，n 期即付年金现值比n 期普通年金现值少折现一期。因此，在n 期普通年金现值的基础上乘以（1＋i）就是n 期即付年金的现值。其计算公式为

式中方括号内的内容称作“即付年金现值系数”，它是在普通年金现值系数的基础上，期数减1，系数值加1 所得的结果。通常记为［（P/A，i，n－1）＋1］，通过查阅“1 元年金现值表”得到（n－1）期的值，然后加1，便可得出对应的即付年金现值系数的值。即付年金现值公式可写为

【例2.12】　某公司6 年分期付款购物，每年年初付2 000 元，银行存款利率为3%，该项分期付款相当于一次现金支付的购价是多少？

解　P ＝A·［（P/A，i，n－1）＋1］

＝2 000 元×［（P/A，3%，5）＋1］＝2 000 元×（4.579 7＋1）＝11 159.4 元

或　P ＝A·（P/A，i，n）·（1＋i）＝2 000 元×（P/A，3%，6）×（1＋3%）＝11 159.4 元

3.递延年金

递延年金是指第一次收付款项发生时间与第一期无关，而是隔若干期（假设s 期，s≥1）后才开始发生的系列等额收付款项。它是普通年金的特殊形式，递延年金终值的大小，与递延期无关，故计算方法与普通年金终值相同。

递延年金的现值的计算有两种方法：

第一种方法是先计算出普通年金现值，然后减去前s 期的普通年金现值，即得递延年金的现值。即

第二种方法是先将此递延年金视为（n－s）期普通年金，求出在第s 期的现值，然后再折算为第零期的现值。即

【例2.13】　某人在年初存入一笔资金，存满5 年后每年末取出10 000 元，到第10 年末取完，银行存款利率为3%。则此人应在最初一次存入银行资金额为

P ＝A×［（P/A，3%，10）－ （P/A，3%，5）］

＝10 000 元×（8.530 2－4.579 7）＝39 505 元

或P ＝A×（P/A，3%，5）× （P/F，3%，5）

＝10 000 元×4.579 7×0.862 6≈39 505 元

4.永续年金的现值

永续年金是指无期限等额收付的特种年金，可视为普通年金的特殊形式，即期限趋于无穷大的普通年金。现实中的存本取息，可视为永续年金的一个例子。永续年金没有终止时间，也就没有终值。通过普通年金现值可推导出永续年金现值的计算公式为

【例2.14】　某公司决定从今年起建立一项永久性的奖励基金，每年年末颁发60 000元专门奖给有突出贡献的科研人员，若目前银行存款利率为3%（复利），则该公司现在应存入银行多少款项，才能保障该项基金正常运转？

解　因为这项奖金没有规定限期，属于计算永续年金的现值问题，根据上述公式计算为

可见，公司为了建立这项奖励基金，现在应向银行存入2 000 000 元。

（四）资金时间价值的特殊计算

1.利率推算

根据复利终值计算公式可推导出利率计算公式为

若已知F，P，n，不用查表便可直接计算出折现。

永续年金利率i 的计算比较简单。若已知P，A，则根据公式P ＝A/i，即得i 的计算公式为

普通年金折利率计算比较复杂，无法直接套用公式，而必须利用有关的系数。普通年金终值F 和年金现值P 的计算公式可推算出年金终值系数（F/A，i，n）和年金现值系数（P/A，i，n）的算式为

根据已知的F，A，n，可求出F/A 的值。通过查年金终值系数表，有可能在表中找到等于F/A 的系数值，只要读出该系数所在列的i 值，即为所求的i。同理，根据已知的P，A，n，可求出P/A 的值。通过查年金现值系数表，可求出i 值。必要时可采用内插法。

下面详细介绍利用年金现值系数表推算i 的步骤：

①计算出P/A 的值，设其为P/A＝α。

②查普通年金现值系数表。沿着已知n 所在的行横向查找，若恰好能找到某一系数值等于α，则该系数值所在的列相对应的利率便为所求的i 值。

③若无法找到恰好等于α 的系数值，就应在表中n 行上找与α 最接近的两个左右临界系数值，设为β1，β2。系数β1，β2所对应的利率分别为i1，i2，然后运用内插法。

④在内插法下，假定利率i 同相关系数在较小的范围内线性相关，则可根据临界系数β1，β2和临界利率i1，i2计算出i，其公式为

【例2.15】　某公司于第一年年初借款160 000 元，每年年末还本付息额均为40 000元，连续5 年还清。问借款利率是多少？

解　根据题意，已知n ＝5，　P ＝160 000 元，A＝40 000 元，则

查n ＝5 的普通年金现值系数表。在n ＝5 一行上无法找到恰好等于α（α ＝4）的系数值，于是在该行上找大于和小于4 的临界系数值：分别为β1＝4.100 2，β2＝3.992 7，相对应的临界利率i1＝7%，i2＝8%。则

2.期间的推算

期间n 的推算，其原理和步骤同利息率的推算相类似。现以普通年金为例，说明在已知P，A，i 的情况下，推算期间n 的基本步骤。

①计算出P/A 的值，设其为P/A＝α。

②查普通年金现值系数表。沿着已知i 所在的列纵向查找，若恰好能找到某一系数值等于α，则该系数值所在行的n 值便为所求的期间值。

③若无法找到恰好等于α 的系数值，就在该列查找与α 最接近的两个上下临界系数值β1，β2及与其分别对应的临界期间n1，n2，然后运用内插法求n。其公式为

【例2.16】　依上例，假设借款利率为8%，问几年能还清？

解　根据题意，已知i＝8%，　P ＝160 000 元，A＝40 000 元，则

（P/A，8%，n）＝P/A ＝160 000 元/40 000 元＝4

查普通年金现值系数表。在i ＝8%的列上纵向查找，无法找到恰好等于a（a ＝4）的系数值，于是在该行上找大于和小于4 的临界系数值：分别为β1＝3.992 7，β2＝4.622 9，相对应的临界期间n1＝6，n2＝5，则

3.名义利率与实际利率

上面有关计算均假定利率为年利率，每年复利一次，但实际上，复利的计息期不一定总是一年，有可能是季度、月或日。当利息在一年内要复利几次时，给出的年利率称为名义利率。而每年只复利一次的名义利率等于实际利率。对于一年内多次复利的情况，可采用两种方法计算时间价值。

第一种方法是按如下公式将名义利率调整为实际利率，然后按实际利率计算时间价值。

式中　r——名义利率；

m——复利次数；

i——实际利率。

【例2.17】　某公司年初存入100 000 元，年利率为8%，每季复利一次，到第5 年末，该公司能得到多少本利和？

解　将数据代入

第二种方法是不计算实际利率，而相应调整有关指标，即利率变为r/m，期数相应变为m·n。

【例2.18】　依上例，用第二种方法计算本利和。

解　F ＝P·（1＋r/m）m·n＝100 000 元×（1＋8%/4）4×5

＝100 000 元×1.486 ＝148 600 元