计算年金终值和现值

在一定的期限内，每次发生的时间间隔相等；连续发生，不能中断的一系列等额收付款项称为年金，以A表示。年金在现实生活中应用广泛，如定期支付的租金、利息、保险费、整存零取的储蓄等。

根据年金收入时间的不同，年金可以分为普通年金、预付年金、递延年金和永续年金，如图6.8所示。

图6.8　年金的分类

1）普通年金

（1）普通年金终值

普通年金终值F是指在一定时期内，每期期末等额收付款项的复利终值之和的金额。可以根据复利终值公式分别计算出每笔收付款项的终值，最后求和，即普通年金的终值（已知年金A，求终值F）。这相当于在银行进行零存整取储蓄的本利和。

普通年金终值的计算公式为：

F=A+A（1+i）1+A（1+i）2+A（1+i）3+…+A（1+i）n﹣1

等式两边同乘（1+i）可得到：

F（1+i）=A（1+i）1+A（1+i）2+A（1+i）3+…+A（1+i）n

上述两式相减，得：

式中，称为年金终值系数，记作（F/A，i，n），可通过直接查阅“年金终值系数表”求得有关数值。上式也可写作：

普通年金终值的计算公式

F=A×（F/A，i，n）

【例6.3】　客满意公司需要投资一个长期项目，该项目在5年建设期内每年年末从银行借款500万元，借款年利率为8%，可项目竣工时应付本息的总额是多少？

解：F=500×（F/A，8%，5）=500万元×5.866=2 933.3万元

技能训练17

企业连续10年于每年年末存款1 000万元。

要求：计算年复利率为10%时，第10年年末可一次取出本利多少钱？

（2）偿债基金

偿债基金（已知终值，求年金）是指为了在约定的未来某一时点清偿某笔债务或积累一定金额的资金，每期期末应准备的年金数额。

由普通年金终值公式F=A×（F/A，i，n）可知，偿债基金的计算公式如下：

偿债基金的计算公式

偿债基金与普通年金终值互为逆运算，只需要利用普通年金终值系数表查出普通年金终值系数，即可代入计算。

【例6.4】　客满意公司拟在10年内每年年末存入银行一笔资金，以便在第10年年末归还一笔到期值为100万元的长期负债。

要求：计算在存款利率为10%的条件下，每年年末应至少存多少钱？

解：已知F=100，n=10，i=10%，则：

答：每年年末至少应存入银行6.276万元。

（3）普通年金现值

普通年金现值是指为了在每期期末取得相等金额的款项，现在需要投入的金额。在一定时期内，已知每期期末等额收付的金额，可以根据复利现值公式分别计算出每笔收付款项的现值，最后求和，即为普通年金的现值（已知年金A，求现值P）。

普通年金现值的计算公式为：

P=A（1+i）﹣1+A（1+i）﹣2+A（1+i）﹣3+…+A（1+i）﹣n

等式两边同乘（1+i）可得到：

P（1+i）=A+A（1+i）﹣1+A（1+i）﹣2+A（1+i）﹣3+…+A（1+i）﹣（n﹣1）

上述两式相减，即：

式中，称为年金现值系数，记作（P/A，i，n），可通过直接查阅“年金现值系数表”求得有关数值。上式也可写作：

普通年金现值的计算公式

P=A×（P/A，i，n）

【例6.5】　客满意公司租入一台设备，每年年末需要支付租金50 000元，年折现率为8%，则6年内应支付的租金总额的现值是多少？

解：6年内应支付的租金总额的现值为：

P=50 000×（P/A，8%，6）

=50 000元×4.622 9

=231 145元

答：6年内应支付的租金总额的现值是231 145元。

技能训练18

企业打算连续8年在每年年末取出100 000元。

要求：计算在年利率为10%的情况下，最初（第一年年初）应一次存入多少钱？

（4）年资本回收额

年资本回收额（已知现值，求年金）是指已知目前初始投入资本，计算约定年限内的等额收回额；或已知目前所欠债务，计算约定年限内的等额清偿额。

由普通年金现值公式P=A（P/A，i，n）可知，年资本回收额的计算公式如下：

年资本回收额的计算公式

年资本回收额与普通年金现值互为逆运算，只需要利用普通年金现值系数表查出普通年金现值系数，即可代入计算。

【例6.6】　客满意公司拟投资100万元建设一个预计寿命期8年的更新改造项目。若企业期望的资金报酬率为10%。

要求：计算企业每年年末至少要从这个项目获得多少报酬才是合算的？

解：本题是一个已知年金现值求年金A的问题。(www.xing528.com)

由P=100，n=8，i=10%，得：

答：企业每年年末至少要从这个项目获得18.744万元才是合算的。

2）预付年金

预付年金又称即付年金或先付年金，是指在一定时期内各期期初等额收付的系列款项。

预付年金与普通年金的区别在于收付款的时间不同，而求终值、现值的原理都是相同的，可以利用普通年金终值、现值的公式推导出预付年金终值、现值的计算公式。

由于没有预付年金的终值和现值系数表，因此进行预付年金的终值和现值的计算时需要将其转化为普通年金。预付年金与普通年金的区别如图6.9所示。

图6.9　预付年金与普通年金的区别图

（1）预付年金的现值

预付年金的现值可以在普通年金现值的基础上加以调整。预付年金的计算公式如下：其中，［（P/A，i，n﹣1）+1］方括号内的数值称为预付年金现值系数。它是在普通年金现值系数的基础上，期数减1，系数加1所得的结果。可直接查“年金现值系数表”得到（n﹣1）期的值，然后加1，便可得出对应的预付年金现值系数的值。

预付年金现值的计算公式

P=A+A（1+i）﹣1+A（1+i）﹣2+…+A（1+i）﹣n

上述公式也可写作：

预付年金现值的计算公式

P=A×［（P/A，i，n﹣1）+1］

【例6.7】　客满意公司准备采用分期付款方式购买一辆公用汽车，付款期为5年，每年年初支付40 000元，假设利率为8%，问该项分期付款相当于一次性支付现金购买汽车的价格是多少？

答：该项分期付款相当于一次性支付现金的价格是172 480元。

（2）预付年金的终值

预付年金的终值是其最后一期期末时的本利和，是各期收付款项的复利终值之和。其计算公式如下：

预付年金终值的计算公式

其中，称为预付年金终值系数。它是在普通年金终值系数的基础上，期数加1，系数减1所得的结果。通常记为［（F/A，i，n+1）﹣1］，可直接查阅“年金终值系数表”得到（n+1）期的值，减去1后便可得出对应的预付年金终值系数的值。因此，上述公式也可写作：

预付年金终值的计算公式

F=A×［（F/A，i，n+1）﹣1］

【例6.8】　客满意公司决定连续8年于每年年初存入500万元作为住房基金，银行存款利率为10%，该公司在第8年年末能一次取出的本利和是多少？

解：第8年年末能一次取出的本利和为

F=A×［（F/A，i，n+1）﹣1］

=500万元×［（F/A，10%，8+1）﹣1］

=500万元×（13.579﹣1）=62 895万元

答：该公司在第8年年末能一次取出的本利和是62 895万元。

3）递延年金

递延年金是指第一次收付款时间不在第一期，而是递延若干期后才开始于每期期末收付的等额定期系列收支。凡不是从第一期开始的年金都是递延年金，它是普通年金的特殊形式。递延年金终值的计算方法与普通年金终值的计算方法相似。但要注意其中的n表示的是A的个数，与递延期无关。例如，长期经营决策分析中新项目建成投产后，要经历一段时间才会开始盈利，这就是递延年金的一种形式。

递延年金现值的计算方法有两种：

第一种方法：假设递延期为m（m<n），可先求出m期后的（n﹣m）期普通年金的现值，然后将此现值折算到第一期期初的现值。其计算公式如下：

递延年金现值的计算公式

P=A×（P/A，i，n﹣m）×（P/F，i，m）

第二种方法：先求出n期普通年金的现值，然后扣除实际并未收付款的m期普通年金现值。其计算公式如下：

递延年金现值的计算公式

P=A×［（P/A，i，n）﹣（P/A，i，m）］

【例6.9】　客满意公司为了激励员工，降低员工离职率，拟在年初存入一笔资金用于员工的奖励，计划从第5年起员工每年取出20 000元，至第10年年末取完，利率10%，则客满意公司为每个员工目前应一次性存入银行多少钱？

答：客满意公司为每个员工应该一次性存入银行的资金为59 494元。

技能训练19

某公司购置一处房产作为办公用，房地产公司提出两种付款方案：①从现在起，每年年初支付20万元，连续支付10次，共200万元。②从第5年开始，每年年末支付25万元，连续支付10次，共250万元。若利率为6%，请你帮助客满意公司决策应该选择哪个方案？

4）永续年金

永续年金是无限期期末定额收付的系列收支。它是普通年金的特殊形式，即期限n趋于无穷的普通年金。如无限期债券、优先股股利等可以看作永续年金。由于永续年金是无限期收付的，没有终止的时间，因此无法计算其终值，仅能利用极限的原理计算其现值。

根据普通年金现值公式，当n→∞时，（1+i%）﹣n的极限为0，即：

永续年金现值的计算公式如下：

永续年金的计算公式

【例6.10】　企业持有的B公司股票每年股利收益为10万元。假定企业不准备在近期转让该股票，B公司的预期收益良好。

要求：对该项股票投资进行估价（已知折现率为10%）。

答：股票投资估价值为100万元。

技能训练20

某县政府为了该县教育事业的发展，在该县特设立奖学金。奖学金每年发一次，奖励每年高考的文理科状元各30 000元。假设银行一年的定期存款利率为3%。问该县政府现在要投资多少钱作为奖励基金？

想一想：

请同学们对比分析普通年金、预付年金、递延年金、永续年金的区别。