年金的终值和现值：非一次性收付款项

年金是指一定时期内，每隔相同的时间，收入或支出相同金额的系列款项。例如折旧、租金、等额分期付款、养老金、保险费、零存整取等都属于年金问题。年金具有连续性和等额性特点。连续性要求在一定时间内，间隔相等时间就要发生一次收支业务，中间不得中断，必须形成系列。等额性要求每期收、付款项的金额必须相等。

年金根据每次收付发生的时点不同，可分为普通年金、预付年金、递延年金和永续年金四种。

要注意的是，在财务管理中，讲到年金，一般是指普通年金。

（一）普通年金

普通年金是指在每期的期末，间隔相等时间，收入或支出相等金额的系列款项。每一间隔期，有期初和期末两个时点，由于普通年金是在期末这个时点上发生收付的，故又称后付年金。

1.普通年金的终值

普通年金的终值是指每期期末收入或支出的相等款项，按复利计算，在最后一期所得的本利和。每期期末收入或支出的款项用A表示，利率用i表示，期数用n表示，那么每期期末收入或支出的款项，折算到第n年的终值如图2-1所示。

图2-1　普通年金终值

第n年支付或收入的款项A折算到最后一期（第n年），其终值为A×(1+i)0

第n-1年支付或收入的款项A折算到最后一期（第n年），其终值为A×(1+i)1

……

第3年支付或收入的款项A折算到最后一期（第n年），其终值为A×(1+i)n -3

第2年支付或收入的款项A折算到最后一期（第n年），其终值为A×(1+i)n -2

第1年支付或收入的款项A折算到最后一期（第n年），其终值为A×(1+i)n -1

那么n年的年金终值和FA=A×(1+i)0+A×(1+i)1+…+A×(1+i)n-3

经整理：

式中，称为“年金终值系数”或“1元年金终值系数”，记为(/,,)

FAin，表示年金为1元、利率为i、经过n期的年金终值是多少，可直接查1元年金终值表得到。

【例2-7】某人连续5年每年年末存入银行10 000元，银行利率为5%。

要求：计算第5年年末的本利和。

计算表明，每年年末存入10 000元，连续存5年，到第5年年末可得55 256元。

2.年偿债基金

计算年金终值，一般是已知年金，然后求终值。有时我们会碰到“已知年金终值，反过来求每年支付的年金数额”，这是年金终值的逆运算，我们把它称作年偿债基金的计算。其计算公式如下：

式中，称作“偿债基金系数”，记为(A/F,i,n)，可查偿债基金系数表，也可根据年金终值系数的倒数来得到，即(A/F,i,n)=1/(F/A,i,n)。利用偿债基金系数可把年金终值折算为每年需要支付的年金数额。

【2-8】某人在5年后要偿还一笔50 000元的债务，银行利率为5%。

要求：为归还这笔债务，每年年末应存入银行多少元？

在银行利率为5%时，每年年末存入银行9 048.79元，5年后才能还清债务。

3.普通年金的现值

普通年金的现值是指一定时期内每期期末等额收支款项的复利现值之和。实际上就是指为了在每期期末取得或支出相等金额的款项，现在需要一次投入或借入多少金额，年金现值用AP表示，其计算如图2-2所示。

图2-2　普通年金的现值

要将每期期末的收支款项全部折算到时点0，则：

第1年年末的年金A折算到时点0的现值为A×(1+i)-1

第2年年末的年金A折算到时点0的现值为A×(1+i)-2

第3年年末的年金A折算到时点0的现值为A×(1+i)-3

……

第(n-1)年年末的年金A折算到时点0的现值为A×(1+i)-(n -1)

第n年年末的年金A折算到时点0的现值为A×(1+i)-n

那么，n年的年金现值之和PA=A×(1+i)-1+A×(1+i)-2+A×(1+i)-3+…+A×(1+i )-(n-1)+

式中，称为“年金现值系数”或“1元年金现值系数”，记作(/,,)

PAin，表示年金1元，利率为i，经过n期的年金现值是多少，可查1元年金现值表。

【例2-9】某人希望每年年末取得10 000元，连续取5年，银行利率为5%。

要求：计算第一年年初应一次存入多少元？

为了每年年末取得10 000元，第一年年初应一次存入43 295元。

4.年回收额

上题是已知年金的条件下，计算年金的现值，也可以反过来在已知年金现值的条件下，求年金，这是年金现值的逆运算，可称作年回收额的计算，计算公式如下：

式中，称作“回收系数”，记作(A/P,i,n)，是年金现值系数的倒数，可查表获得，也可利用年金现值系数的倒数来求得。

【例2-10】某人购入一套商品房，须向银行按揭贷款100万元，准备20年内于每年年末等额偿还，银行贷款利率为5%。(www.xing528.com)

要求：计算每年应归还多少元？

（二）预付年金

预付年金是指每期收入或支出相等金额的款项是发生在每期的期初，而不是期末，也称先付年金或即付年金。

预付年金与普通年金的区别在于收付款的时点不同，普通年金在每期的期末收付款项，预付年金在每期的期初收付款项，收付时间如图2-3所示。

图2-3　预付年金与普通年金的区别

从图2-3可见，n期的预付年金与n期的普通年金，其收付款次数是一样的，只是收付款时点不一样。如果计算年金终值，预付年金要比普通年金多计一年的利息；如计算年金现值，则预付年金要比普通年金少折现一年，因此，在普通年金的现值、终值的基础上，乘上(1)i+便可计算出预付年金的现值与终值。

1.预付年金的终值

式中，称“预付年金系数”，记作[(F/A,i,n+1)-1]，可利用普通年金终值表查得(1)n+期的终值，然后减去1，就可得到1元预付年金终值。

【例2-11】将例2-7中收付款的时间改为每年年初，其余条件不变。

要求：计算第5年年末的本利和。

与例2-7的普通年金终值相比，相差(58019-55256)=2763（元），该差额实际上就是预付年金比普通年金多计一年利息而造成的，即55256×5%=2762.80（元）。

2.预付年金的现值

式中，称“预付年金现值系数”，记作[(P/A,i,n-1)+1]，可利用普通年金现值表查得(1)n-期的现值，然后加上1，就可得到1元预付年金现值。

【例2-12】将例2-9中收付款的时间改在每年年初，其余条件不变。

要求：计算第1年年初应一次存入多少钱。

与例2-9普通年金现值相比，相差45460-43295=2165（元），该差额实际上是由于预付年金现值比普通年金现值少折现一期造成的，即43295×5%=2164.75（元）。

（三）递延年金

前两种年金的第一次收付时间都发生在整个收付期的第一期，要么在第一期期末，要么在第一期期初。但有时会遇到第一次收付不发生在第一期，而是隔了几期后才在以后的每期期末发生一系列的收支款项，这种年金形式就是递延年金，它是普通年金的特殊形式。因此，凡是不在第一期开始收付的年金，称为递延年金。图2-4可说明递延年金的支付特点。

从图2-4中可知，递延年金的第一次年金收付没有发生在第一期，而是隔了m期（这m期就是递延期），在第1m+期的期末才发生第一次收付，并且在以后的n期内，每期期末均发生等额的现金收支。与普通年金相比，尽管期限一样，都是()mn+期，但普通年金在()mn+期内，每个期末都要发生收支，而递延年金在()mn+期内，只在后n期发生收支，前m期无收支发生。

递延年金：

普通年金：

图2-4　递延年金

1.递延年金的终值

在图2-4中，先不看递延期，年金一共支付了n期。只要将这n期年金折算到期末，即可得到递延年金终值。所以，递延年金终值的大小，与递延期无关，只与年金共支付了多少期有关，它的计算方法与普通年金相同。

【例2-13】某企业于年初投资一项目，估计从第5年开始至第10年，每年年末可得收益10万元，假定年利率为5%。

要求：计算投资项目年收益的终值。

2.递延年金的现值

递延年金的现值可用以下三种方法来计算。

（1）把递延年金视为n期的普通年金，求出年金在递延期期末m点的现值，再将m点的现值调整到第一期期初。

（2）先假设递延期也发生收支，则变成一个()mn+期的普通年金，算出()mn+期的年金现值，再扣除并未发生年金收支的m期递延期的年金现值，即可求得递延年金现值。

（3）先算出递延年金的终值，再将终值折算到第一期期初，即可求得递延年金的现值。

【例2-14】某企业年初投资一项目，希望从第5年开始每年年末取得10万元收益，投资期限为10年，假定年利率5%。

要求：计算该企业年初最多投资多少元才有利。

从计算中可知，该企业年初的投资额不超过41.76万元才有利。

（四）永续年金

永续年金是指无限期的收入或支出相等金额的年金，也称永久年金。它也是普通年金的一种特殊形式，由于永续年金的期限趋于无限，没有终止时间，因而也没有终值，只有现值。永续年金的现值计算公式如下：

当

【例2-15】某企业要建立一项永久性帮困基金，计划每年拿出5万元帮助失学儿童，年利率为5%。

要求：计算现应筹集多少资金。

现应筹集到100万元资金，就可每年拿出5万元帮助失学儿童。