1918年8月3日，程开甲出生于江苏吴江盛泽镇一个商人家庭。祖父程敬斋精明能干，练得一手经商的绝活儿——左手拨算盘，右手写字，一心二用，既准又快。他发家致富后娶了两位太太，却只有一个男孩。程敬斋一心想光宗耀祖，让儿子科举取士。无奈儿子程侍彤连个秀才也没考取，程敬斋只好将希望寄托在孙子身上，给未来的长孙取了一个“开甲”的名字，意思是名列榜首。
让程老爷子大为失望的是，他让儿子娶了洪举人家的姑娘为妻，却一连生下六个孙女，无一人可领“开甲”之名。于是，他又让儿子娶了一个潦倒书生的女儿董云峰。家境贫寒的董云峰进程家不久就怀孕了。巧的是，在祖父程敬斋病故的第二天，程开甲呱呱问世了。
祖父去世后，家道中落。程开甲6岁时，父亲病故，生母董云峰在程家成了多余的人，受尽了白眼和屈辱。有一天，她给儿子小开甲洗了澡，换上干净的衣服和鞋袜，还塞给他20个铜板，眼泪一滴一滴落在儿子的身上，说了一句：“儿子你要为妈争口气呀！”说完转身踏上了小船，从此再也没有回程家。
母亲走后，小顽童程开甲既没人疼爱，也没人管教，他无依无靠，像匹小野马独来独往，有时孤僻不愿见人，有时顽皮胆大包天。开始，家里将他送到私立小学，课上课下他都玩得不亦乐乎，不好好读书，连读三个二年级。直到有一天，他小小年纪独自一个人从吴江跑到上海，全家人急得到处找他。他到上海三姐家找饭吃，才被家里人接回了吴江老家。(www.xing528.com)
家里将他转学到盛泽观音弄小学读书。程开甲的五姐程钟伟调到观音弄小学教书后，当老师的她对顽皮的小弟弟很有耐心，让程开甲每天背着小书包跟着她去上学。在五姐的指导下，他对数学和音乐发生了浓厚的兴趣，学习成绩逐渐好转，从四年级直接跳到六年级。
1931年，程开甲考入离家20多千米的浙江嘉兴秀州中学。著名的科学家李政道和陈省身就是这个学校毕业的。程开甲在这里读了整整六年的初中和高中。读初一的时候，程开甲还是成绩平平。读到初二，程开甲从图书馆里借来许多科学家的传记，他着迷地读着伽利略、牛顿、爱因斯坦、法拉第、居里夫人、巴斯德、詹天佑等科学家的传记。这些书开启了他心中的一道智慧之门，使他对科学家的人生充满了兴趣。那些重大的科学发明像磁铁一样吸引着他，使他渐渐萌发出长大要当科学家的理想。
这时候，程开甲有幸碰上了一个非常好的数学老师姚广钧。姚老师十分重视对学生数学技能的记忆训练。在姚老师的指导和训练下，程开甲能将圆周率轻松自如地背诵到小数点后60位数，乘方表和立方表脱口而出；他牢记学过的每一个数学公式。这对他在日后科研中推导和演算数据起了很重要的作用。
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