SIS模型的平均场理论解析

1.平均场理论概述

在平均场理论的应用中，最重要的是核心思想：在讨论的由相对无序至相对有序的变化中，跨越一切尺度的所有基本单位之间的相互作用的总体效果起主导作用，而每个基本单位周围环境的“局部信息”并不重要。

很多因素会影响传染病传播的进程，如病人个人的免疫能力、接触的人群、个人的康复能力等。但平均场理论的思想就是不把这些具体细节列入考虑范围，只考虑全局的、平均的传播可能性，即常参量传染概率v和康复概率δ。（当传染病处于停止传播的状态时，病人的密度ρ为0，较为对称，系统呈无序；而当传染病流行时，病 人的密度ρ大于0，各个方向相对不对称，出现对撑破缺，系统相对有序。对于传染病的传播，很多研究结果和实验结果都表明存在一个常参量传染概率v。）传统的SIS模型就是传染病传播的平均场方程。

在有限的人群中，一次传染病的传播会受到每个人周围环境的局部信息等因素的影响，而这些信息各不相同，所以各个人群的多次传染病传播的统计差异很大。但假设这些局部信息遵循一个理想的正态随机分布，那这样的话，基于SIS模型的平均场方程一定是精确的。

2.临界现象

一定条件下，水会变成水蒸气，也会结成冰，很多自然界中的物质都会发生类似的被称为“相变”的三态变化。这一类相变的一个特征是，存在两种具有两相共存的临界变化阶段。举例来说，气温转暖时，结冰的江河开始解冻，水面漂浮的冰块会不断融化成水。另一个特征是相变时有一些物理量会发生突变，如水蒸气凝结为水时会释放出 “相变潜热”。研究证明，自然三相之间的相变一定是“连续的”，在物理环境发生改变时，就发生物态变化，这样的物态相变被称为“一级相变”或“不连续相变”，而在临界点发生的物态相变称为“二级相变”或“连续相变”。

在连续相变中根本不存在两种相态共同存在，相变在物质各处发生，所以这种相变称为“临界现象”。

3.平均场理论的核心思想(www.xing528.com)

在临界现象的研究中，由于具有两种及以上的相态，因此进行相态分形的关键特性是一种“跨越一切尺度的法则”，所以分形才具有（统计或严格的）跨越一切尺度的自相似性。这揭示了一点，在相变的过程中，分子间如何反应，成为怎么样的相态，这都是取于跨越一切尺度的所有分子之间的相互作用的总体效果，而其他的性质或信息只是无关紧要的一部分。所以，在二级相变中，可以把跨越一切尺度的所有分子之间的相互作用的总体效果看作一个平均场，不去计算局部的、处处不同的相互作用的情况。这就是平均场理论的核心思想。

当碰到需要运用到平均场理论的问题时，虽然各个问题的具体情况、计算方法等各不相同，但是将该思想作为解决问题的前提，考虑问题就能变得更通透了。

因此，连续相变的平均场方法的步骤是：

① 引入一个标志“相对无序”向“相对有序”变化的序参量。

② 把复杂的微观基本单元之间的相互作用和外界作用简化为一个“平均后的场”。

③ 讨论这个平均后的场对相变驱动量的光滑性、对称性、可展开性。

④ 把这个平均后的场对相变驱动参量展开，取近似，由此讨论相变的序参量对相变驱动量的关系式。