工具变量法（IV估计法）的分析介绍

IV估计法的基本思想是当某个说明变量与随机项相关时，选择一个与此说明变量强相关而与相应的随机项又不相关的前定变量作为工具，来达到消除该说明变量与随机项之间的依赖关系的目的。

IV估计量不具备无偏性但具有一致性。工具变量法是一种单方程估计方法，每次只适用于模型中的一个结构方程。

（一）工具变量法的步骤

工具变量法的主要有下面几个步骤。

第一步，选择适当的工具变量。

在联立方程模型中，所选择的工具变量应满足以下条件：

（1）它必须与方程中所考虑的内生说明变量强相关。

（2）它必须是真正的前定变量，因而与结构方程中的随机项不相关。

（3）它必须同结构方程中的其他前定变量相关性很小，以避免多重共线性。

（4）如果在同一结构方程中使用了一个以上的工具变量，这些工具变量之间的相关性也须很小，避免产生多重共线性。

人们自然会想到模型中的前定变量一般都满足上述条件。所以每一个前定变量都可以作为内生说明变量的备选工具变量。

这里应该指出，选择工具变量的个数必须与所估计的结构方程中作解释变量的内生变的个数相等。如果结构方程中含有前定变量，则可选择这些前定变量本身作自己的工具变量，这样作的目的是使每一个结构参数值都能求得估计值。

第二步，分别用工具变量去乘结构方程，并对所有的样本观测值求和，得到与未知参数一样多的线性方程，组成的方程组。解方程组就得到结构参数的估计值。

（二）工具变量法的应用举例

下面结合具体例子说明工具变量法的应用。

1.设有一个解释变量的结构方程：

其中，Xt是该方程所在模型中的内生变量，因而COV（X1t，ut）≠0。在模型的其他结构方程中可找到这样的外生变量Zt，Zt与Xt高度相关但Zt与ut不相关，即COV（Zt，ut）=0，Zt满足工具变量的条件。

由（10-53）有

用Zt乘（10-53）两边并求和，得到

由于E（ut）=0，所以≈0，（10-54）可改写为

又由于COV（Z1t，ut）=0，所以，于是（10-55）可改写成

将（10-56）代入（10-57），整理后得到

便有

2.设有两个解释变量的结构方程

其中，X1t，X2t是方程所在模型中的两个内生变量，并且与随机项ut相关。(www.xing528.com)

由（10-59）有

选择Z1t和Z2t作为工具变量，分别去乘（10-59）并求和：

由于E（ut）=0，所以u≈0，（10-60）可改写成

由COV（Z1t，ut）=0 COV（Z2t，ut）=0，所以∑ut Z1t≈0，∑ut Z2t≈0，于是（10-61）和（10-62）可以写成

将（10-63）分别代入（10-64）和（10-65），整理后得到

解方程组可得

（三）工具变量法的有效性

下面对工具变量法有效性进行讨论。

设结构模型中第一个方程具有如下形式

模型（12-68）共有（g1-1）个内生说明变量和k1前定变量。

1.若方程（10-68）恰好识别。

由阶条件知

K1*+G1*=G-1

或

（10-69）表示方程（10-68）中所不包含的前定变量Xk1+1，Xk1+2，…，Xk的个数恰好等于（10-69）中作为说明变量的内生变量Y2，Y3，…，Yg1的个数（同样X1，X2，…，Xk1本身作为自己的工具变量）作拟正规方程组，可求得结构参数唯一的工具变量法估计值。因此，工具变量对于恰好识别的结构方程是一种有效的方法。

2.若方程（12.3.16）过度识别，则有

表示在模型中有Xk1+1，…，Xk，即有K1*个前定变量可选作工具变量。由于K1*大于g1-1，所以，从K1*个前定变量中选择g1-1个作为工具变量，就产生了选择的任意性。由于估计量与所选的工具变量有关，因此就使得估计量不唯一，这就产生了估计量的优劣问题。工具变量虽然能给出过度识别方程的参数估计值，但这种估计具有任意性而且失去了未被选用的前定变量所提供的信息。所以，工具变量法对过度识别方程不是一种有效的估计方法。

（四）对本法作简单评述

（1）工具变量法只适用于恰好识别。

（2）由于模型中内生变量间因果关系的交错，内生变量与许多前定变量都是相关的，因此选择合适的工具变量是相当困难的。

（3）前定变量多于一个时，要求它们之间又要满足不相关，有时是困难的。

（4）由于u是不可观察的，很难确定它与工具变量无关。

（5）此方法估计出的参数估计值是非无偏但是一致估计量。

由于以上原因，在实际中，人们很少直接用工具变量法对结构参数进行估计，但它为二阶段最小二乘法做了准备。