如何识别结构方程的规则？

在前面我们看到，采用模型的约简式来识别联立方程模型中某个方程的识别问题在理论上是行得通的，但对于一个具体的结构方程，为了确定它究竟属于哪种情形，从结构型转换成约简型的参数关系的推导太繁锁，当结构模型包含方程个数较多时，其约简型的系数关系式几乎不可能求出。因此，我们应研究更好的识别模型的方法——识别规则。

（一）识别的阶条件——必要条件

为了叙述方便，我们引进符号如下：

G——模型所含内生变量的总数；

G*——包含在模型中，但该方程中不包含的内生变量数；

K——模型所含前定变量的总数；

K*——包含在模型中，但该方程中不包含的前定变量总数。

在讨论模型识别问题时，我们总是假定模型在数学上是完备的，即模型中的内生变量数和方程数相等。假设模型中共有G个同时方程或者G个内生变量，那么可以证明：模型中任一方程可识别的必要条件是该方程所不包含的前定变量数不小于它所包含的内生变量数减1，即

式中的符号代表正确识别条件，不等号代表过度识别条件。将式（10-16）两端各加G*便有

所以，任一方程可识别的必要条件又叙述为：该方程所不包含的变量（包括模型中内生变量和前定变量）总数不小于模型中的方程数（或内生变量数）减1，式中等号代表正确识别，不等号代表过度识别。

显然，条件（10-16）与（10-17）是等价的，实际应用时可取其中之一。

例10-1 如在需求函数（10-1）中再增加一个外生变量代用品的价格P*t，则供求模型为

化为约简型为

其中，

由（10-23）可得

由∏20可得

所以

由于（10-25）中β1的两个估计值一般不相等，所以β1的估计值不唯一，可知供给方程（10-19）是过度识别。参数α无法确定，所以需求方程（10-2-3）不可识别，整个模型不可识别。

从统计形式唯一性看，方程（10-18）和（10-19）的线性组合，同（10-18）不可区分而同（10-19）可以区分，可知（10-18）不可识别而方程（10-19）可识别。

例10-2 利用例1，为了简便我们消除平衡条件：

该模型中Qt、Pt是内生变量，Yt和P*t是外生变量，所以G=2，K=2。

需求方程：

K*=0。G*=0，K*+G*=0；

G=2 G-1=1

条件K*+G*≥G-1不满足，

所以，需求方程（10-2-12）不可识别。

供给方程：

K*=2，G*=0，K*+G*=2+0=2；

G-1=2-1=1

条件K*+G*=2＞1=G-1满足，

所以，供给方程（10-27）如果可识别，便是过度识别。

例10-3 利用例10-2，为了简便我们仍然消除平衡条件。

模型中Qt、Pt是内生变量，Yt和Pt-1是前定变量，所以G=2，K=2。

需求方程

K*=1，G*=0，K*+G*=1+0=1

G-1=2-1=1

条件K*+G*=1=G-1满足，

所以，需求方程（10-2-14）如果可识别，便是正确识别。

供给方程：

K*=1，G*=0，K+G*=1+0=1

G-1=2-1=1

条件K*+G*=1=G-1满足。

所以，供给方程（10-30）如果可识别，便是正确识别。

值得注意的是，识别的阶条件只是模型方程能识别的必要条件而不是充分条件，满足必要条件的方程不一定能识别。对于恰好识别和过度识别的判断只有在可识别的情况下才有意义。(www.xing528.com)

（二）识别的秩条件——充要条件

阶条件是一个必要条件，识别的秩条件是识别的充分且必要条件。识别的秩条件指的是，在由G个方程和G个内生变量的结构模型中，某个方程可识别的充要条件是该方程不包含而为其他方程所包含的那些变量（包括内生变量和前定变量）的系数矩阵的秩等于G-1。即

其中，Δ代表出现在被考查方程内而出现在其他方程内的所有变量的系数矩阵，称为识别矩阵，R为求秩符号。

下面举例说明应用秩条件的步骤。

例4 对模型（10-1）再增加一个前定变量Pt-1，此时模型变为

化为约简型为

其中：

由（10-37）可解出唯一的一组结构参数：

由于结构模型（10-32）的参数由约简型参数唯一确定，所以（10-32）和（10-33）两方程皆可恰好识别，因而整个模型也恰好识别。

第一步，将原模型改写成如下形式：

并列出系数表如下：

假定我们要识别第一个方程（10-40）

第二步，画去要识别方程（10-40）系数所在行；再画去要识别方程（10-40）非零系数所在的列。得到识别矩阵

第三步，判别识别矩阵的秩是否等于G-1

二阶行列式：

所以

R（Δ）=2

又因为

G-1=3-1=2

所以有

R（Δ）=2=G-1

方程（10-40）可识别

第四步，利用阶条件判别是恰好识别还是过度识别：

K*=1，G*=1，K*+G*=2

而

G-1=3-1=2

条件K*+G*=2=G-1满足，所（10-41）方程恰好识别。

重复以上步骤还可对第二个方程（10-42）进行识别判断。

方程（10-42）的识别矩阵为

其行列式为

所以 秩R（Δ）=2而G-1=3-1=2

条件 R（Δ）=2=G-1满足，方程（10-42）可识别。

又 K*=1，G*=1，K*+G*=2

所以，条件K*+G*=2=G-1满足，所以（10-42）方程恰好识别。

第三个方程（10-43）为定义方程，是恒等式不需要进行识别。

由于该模型需求方程和供给方程都是恰好识别，所以，模型恰好识别。

（三）零约束条件

从本节例子中我们可以发现，如果一个方程包含模型中的全部变量，这个方程一定不可识别。这表明如果对方程施加若干限制，使模型中的某些变量不在方程中出现，乃是议程可识别的必要条件。某些变量不在方程中出现相当于将方程中某些变量的系数规定为0，所以称为零约束条件。零约束条件是人们用来得到可识别模型的简便方法。对此我们作如下解释：我们知道方程可识别的必要条件——阶条件为

K*+G*≥G-1

或

其中G-G*为被考察方程所包含的内生变量数，K*为不包含在方程中但包含在模型中的前定变量数，即对方程中施加零约束的前定变量数。（10-44）式的含义为对方程中施加零约束的前定变量至少等于方程中内生变量数减1。

不过要注意，当人们应用零约束条件时，必须说明允许或不允许某些变量在特定方程中出现的经济学上的理由，不能为使方程可识别对其中的变量数目作随意的增减。