Augmented Dickey-Fuller检验（ADF检验）详解

以上三个自回归模型对于研究实际经济变量太严格，只允许数据生成过程是一阶自回归，还应该进一步讨论在AR（p）模型条件下，随机误差项非白噪声条件下，检验用统计量的分布特征。

（一）扩展之一：从一阶自回归过程到p阶自回归过程

由于：

（1-γL）-（α1 L+α2 L2+…+αp-1 Lp-1）（1-L）

=1-γL-α1 L+α1 L2-α2 L2+α2 L3-…-αp-1 Lp-1+αp-1 Lp

=1-（γ+α1）L-（α2-α1）L2-（α3-α2）L3

-…-（αp-1-αp-2）Lp-1-（-αp-1）Lp

=1-[（γ1+γ2+…+γp）-（γ2+…+γp）]L

-[-（γ3+γ4+…+γp）+（γ2+…+γp）]L2

-…-[-（γp）+（γp-1+γp）]Lp-1-（γp）Lp

=1-γ1 L-γ2 L2-…-γp-1 Lp-1-γp Lp

从而可把式（9-34）：yt-（γ1yt-1+γ2yt-2+…+γpyt-p）=ut等价地变换为

{（1-γL）-（α1L+α2L2+…+αp-1Lp-1）（1-L）}yt=ut

亦即

yt=γyt-1+α1Δyt-1+α2Δyt-2+…+αp-1Δyt-p+1+ut

当yt中含有单位根时，可以通过如下模型研究γ=1条件下，检验用统计量DF的分布特征。

其中，γ=γ1+γ2+…+γp，αj=-[γj+1+…+γj+p]，j=1，2，…，p-1

式（9-35）中相对于γDF统计量的分布与式（9-22）中DF统计量的分布近似相同。（9-35）式中的差分项Δyt-j，j=1，2，…，p-1之所以不会对DF统计量的分布产生影响是因为当yt～I（1），则全部Δyt-j～I（0）。yt与Δyt-j的交叉积渐进被忽略。从而使式（9-35）中γ的DF统计量的分布与式（9-22）中γ的DF统计量渐近相同。

当模型（9-34）中含有漂移项α和固定趋势项βt时，对应γ的DF统计量的分布分别与情形2、情形3中DF统计量的分布相同。(www.xing528.com)

（二）扩展之二：扰动项原来不相关变为相关

考虑如下AR（1）过程：

其中，允许随机项ut是一个ARMA（p，q）过程，参数p，q的值也可未知。则可以用下式研究γ和DF统计量的分布。

若γ=1，上式是一个差分的AR（k）过程。加入Δyt滞后项的目的是捕捉式（9-21）误差项ut中的自相关（ut的自相关项对于模型（9-21）来说是移动平均项，所以Δyt滞后项的加入可以捕捉之。）因为可逆的移动平均过程可以转化为一个无限阶的自回归过程，所以对ut而言的移动平均项vt，t=1，…，q完全可以通过增加ut的滞后项而吸收。进而被足够的Δyt-i项所吸收，并使 近似为一个白噪声过程。

Said-Dickey（1984）证明式（9-37）中γ的DF统计量的分布与式（9-21）中γ的DF统计量的分布类似。当式（9-21）中加入位移项α和趋势项βt时，γ的DF分布分别与 情形1和情形中γ的DF分布类似。

无论是情形1还是情形2发生，如果还用DF检验，都会导致随机扰动项ut存在自相关。而当随机扰动项存在自相关时，直接使用DF检验法会出现偏误，为了保证单位根检验的有效性，对DF检验进行拓展，从而形成了扩展的DF检验，简称为ADF检验。根据上述讨论，要使扰动项无自相关，只需要在原模型加入差分项即可，具体做法如下。

假设基本模型为如下三种类型：

模型Ⅰ：Yt=γYt-1+ut

模型Ⅱ：Yt=α+γYt-1+ut

模型Ⅲ：Yt=α+βt+γYt-1+ut

其中，ut为随机扰动项，它可以是一个一般的平稳过程。为了借用DF检验的方法，将模型变为如下形式：

模型Ⅰ：

模型Ⅱ：

模型Ⅲ：

由于在上述模型中检验原假设H0：γ=1的t统计量的极限分布，同DF检验的极限分布相同，从而可以使用相同的临界值表。

由于实际数据绝大多数具有不同程度的相关性，因而ADF是实证研究的主要工具。但是，如何保证实证结论的准确性还需要考虑滞后阶数的确定。

Δyt滞后项加入检验方程是为校正自相关性，因此，滞后阶数的选取既要截获相关性，同时又要尽量减少信息损失（滞后阶越大，用于估计的有效样本就越少，从而使信息损失越大），基于这一思想，实证中常用的方法有两种。其一，渐近t检验，即对较大的滞后阶p，用t检验确认αi是否显著，若不显著，减少p值直到对应的系数的t值显著。由于t显著是对Δyt-i（～I（0））的系数而言的，故t统计量是渐近有效的，但一般而言，显著性水平应稍高，如α=0.15，或0.20亦可。其二，基于最小信息准则（AIC）来选取滞后阶p，选取较大的滞后阶p，计算对应的AIC，然后减少p，直至AIC最小并基于此确定最终滞后阶。这两种方法确定滞后阶体现了从一般到特殊的思想，即从一般（较大）的p值开始直至最优的滞后阶（或特殊的滞后阶）。

实施上述从一般到特殊的方法确定滞后阶有可能犯过度差分（overdifference）和不足差分（underdifference）的错误，即初始的p值选取得过大（小），使其逐渐减小（增大）的过程中确定了不恰当的滞后阶。然而，从一般到特殊所确定的滞后阶或最小的AIC从实证的角度并不能保证估计残差具有严格的iid性质，而不适当的p值可能导致检验势降低，因而，选取理想的p值并非易事。