随机时间序列模型的平稳条件分析

（一）时间序列模型的形式分析

随机时间序列模型是指仅用其过去值及随机扰动项所建立起来的模型，其一般形式为

建立具体的随机序列模型需要解决三个问题：模型的形式（即f的具体形式）、滞后期数和随机扰动项的结构。如果取线性方程、一期滞后以及白噪声随机扰动项，模型（9-3）将是一个一阶自回归模型AR（1）：

其中，{ut}为白噪声过程。常记作AR（1）。

一般来讲，由于经济系统惯性的作用，经济时间序列往往存在着前后依存关系，这种前后依存关系是时间序列预测的基础。假定{yt}为一时间序列，最简单的一种前后依存关系就是变量当前的取值主要与其前一时期的取值状况有关，而与其前一时期以前的取值状况无直接关系，也就是说yt主要与yt-1相关，与yt-2，yt-3，…无关，可用模型（9-4）描述。一般的，如果yt与过去时期直到yt-p的取值相关，则{yt}的动态关系就需要使用包含yt-1，…，yt-p在内的p阶自回归模型来加以刻画。p阶自回归模型的一般形式为

如果模型（9-5）中ut为白噪声，则称式（9-5）为纯MA（p）过程。

如果ut不是一个白噪声，通常认为它是一q阶移动平均过程MA（q）：

{εi}为白噪声过程，式（9-6）给出了一个纯MA（q）过程。

将AR（p）过程与MA（q）相结合，就得到一个自回归移动平均过程ARMA（p，q）：

式（9-7）表明，一个随机时间序列可以通过自回归移动平均过程生成，即该序列可以由其自身的过去或滞后值以及随机扰动项来解释。如果该序列是平稳的，即它的数字特征不会随着时间的推移而变化，那么就可以通过该序列过去的数量特征来预测未来。

（二）平稳条件分析

1.MA（q）模型的平稳条件分析

对于ARMA（p，q）模型，如果γ1=γ2=…γp=0，则模型（9-7）为一纯MA（q）模型，

由{εi}为白噪声过程，可知：

E（yt）=0

可见，MA（q）模型的均值为常数0，方差和协方差仅与滞后阶数q和时间间隔有关，且不随时间推移而变化，因此，MA（q）序列总是弱平稳序列。

由此可见，一个自回归移动平均过程ARMA（p，q）的平稳性主要取决于AR（p）部分的平稳性，如果对应的AR（p）部分是平稳的，则此ARMA（p，q）过程式平稳的，否则是不平稳的。(www.xing528.com)

2.AR（p）模型的平稳条件分析

本部分以单位根过程分析为重点，为了说明单位根过程的概念，这里侧重以AR（1）模型yt=γyt-1+ut进行分析。如果γ=1，则序列的生成过程变为随机游走过程：

其中，{ut}独立同分布且均值为零、方差恒定为σ2。由前文分析可知随机游走过程的方差为tσ2。当t→∞时，序列的方差趋于无穷大，这说明随机游走过程是非平稳的，同时也说明随机游走过程具有“记忆性”。有时也称一个随机游动过程是一个单位根过程。

引入滞后算子L，Lyt=yt-1，L2 yt=yt-2……Lpyt=yt-p，那么一个AR（p）过程可以表述为

即φ（L）=1-γ1 L-γ2 L2-…-γp Lp，则多项式方程：

称为AR（p）过程的特征方程。可以证明，如果方程（9-11）所有根都在单位圆之外，亦即其所有根的模都大于1，则对应的AR（p）过程为平稳过程。

对于式（9-4）表述的AR（1）过程来讲，两边平方可得yt2=γ2 y2t-1+u2t+2yt-1ut，由{ut}为白噪声过程，易知E（yt）=0，如果式（9-4）描述的是一个平稳过程，易知var（yt）=var（yt-1），由此可得var（yt）=γ2 var（yt）+σ2，亦即

由于式（9-12）必须为正值，因此，γ2＜1，从而有｜γ｜＜1。

模型（9-4）的特征方程为1-γZ=0，亦即，若果模型（9-4）稳定，就需要其特征方程的特征根都在单位圆外，即，同样可得｜γ｜＜1。

而对于模型（9-9）代表的随机游走过程来讲，γ=1，导致其特征方程的特征根恰好落在单位圆上，因此，称之为单位根过程。较随机游动更一般的，是一般的单位根过程。如果随机过程{yt}遵从：

其中，γ=1，{ut}为一平稳过程，且E（ut）=0，Cov（ut，ut-s）=μs＜∞，s=0，1，2，…。则称序列{yt}为（不带漂移的）单位根过程。

下面我们来对比一下随机游走过程和平稳的一阶自回归过程统计特征，如表9-1所示。

表9-1　随机游走过程和平稳的一阶自回归过程统计特征比较

对于高阶的自回归过程AR（p）来讲，多数情况下没有必要计算其特征方程的特征根，但有一些规则可以用来检验高阶自回归模型的稳定性，AR（p）过程稳定的必要条件为

由于γi（i=1…p）可正可负，AR（p）过程稳定的充分条件为