多重共线性及其在多元线性回归模型中的影响

（一）多重共线的解释

第三章讨论多元线性回归模型的估计时，强调了假定无多重共线性，即假定各解释变量之间不存在线性关系，或者说各解释变量的观测值之间线性无关。在计量经济学中所谓的多重共线性（Multi-Collinearity），不仅包括解释变量之间精确的线性关系，还包括解释变量之间近似的线性关系。

回归模型中解释变量的关系可能表现为下面三种情形。

（1）rxixj=0，解释变量间毫无线性关系，变量间相互正交。事实上这时已不需要做多元回归，每个参数βj都可以通过Y对Xj的一元回归来估计。

（2）rxixj=1，解释变量间完全共线性。此时模型参数将无法确定。直观地看，当两变量按同一方式变化时，要区别每个解释变量对被解释变量的影响程度非常困难。

（3）0＜rxixj＜1，解释变量间存在一定程度的线性关系。实际中常遇到的是这种情形。

随着共线性程度的加强，会对参数估计值的准确性、稳定性带来影响。因此不完全的多重共线性事实上有严重程度的问题。

（二）多重共线的含义(www.xing528.com)

从数学意义上去解释变量之间存在共线性，就是对于变量x1，x2，…xk，如果存在不全为零的常数λ1，λ2，…λk，使得下式成立

则称变量x1，x2，…xk之间存在完全共线性。在计量经济学中，一个具有两个以上解释变量的线性回归模型里，如果解释变量之间存在式（4-1）那样的关系，则称这些解释变量之间存在完全的多重共线性。

完全多重共线性还可以用矩阵形式加以描述。设解释变量矩阵X为

所谓完全的多重共线性，就是｜X′X｜=0。或者rank（X）〈k+1，表明在矩阵X中，至少有一个列向量可以由其余的列向量线性表示。

所谓近似共线性或不完全多重共线性是指对于k个解释变量xt（t=1，2，3，…k），如果存在不全为零的数λ1，λ2，…λk使得

成立，其中u为随机误差项。

如果k个解释变量之间不存在上述完全或不完全的线性关系式，则称无多重共线性。如果用矩阵表示，这时X为满秩矩阵，即rank（X）=k+1。