总体回归模型和随机扰动项

（一）总体回归函数

从例2-2来看，94个家庭的人均消费支出形成了总体分布，由于94个人均消费支出的值各不相等，因此，人均消费支出Y取每一个值的概率都为1/94，此为总体的分布。给定家庭人均支配收入相当于对人均消费支出设定了限制条件，在此条件下形成的分布称为总体的条件分布（如表2-3）。每给定一个家庭人均可支配收入的值（X=Xi），可以找到总体在对应条件下的条件均值E（Y/X=Xi）（如表2-2最后一行），描述被解释变量条件均值与对应条件之间关系的函数：

称为总体回归函数。总体回归函数f（.）的具体形式由相应总体的规律所决定，当只有一个条件（解释变量）、f（.）为线性函数时，式（2-4）为

其中，β1和β2为未知参数，称为回归系数，也称β1为截距项、β2为斜率系数，式（2-5）称为线性总体回归函数（也称为总体回归方程、非随机的总体回归方程）。回归分析的主要目的就是通过样本点估计总体回归函数，以对经济现象间的数量关系进行分析预测。

（二）随机扰动项

在给定的条件X=Xi下，Y所有取值形成的分布为该条件下Y的条件分布，对应此条件下的观测值Yi与条件均值E（Y/X=Xi）并不一定相等，而是围绕E（Y/X=Xi）波动，Yi与E（Y/X=Xi）的离差可表示为

在计量经济学中称ui随机扰动项，所有Yi-E（Y/X=Xi）形成的分布为ui分布。随机扰动项存在的原因主要有以下四个方面。

1）作为对被解释变量条件均值不产生显著影响，但能导致被解释变量在给定条件下发生变异进而偏离条件均值的众多细微影响因素的代表。例如，居民消费行为的影响因素除了收入、财富等系统因素外，还有天气、消费习惯等因素，这些因素对个体消费行为会产生影响，但不影响人群整体的平均消费行为。这些导致被解释变量个别观测值偏离均值但又不对被解释变量条件均值变化产生影响的因素通常不列入模型中，而将他们的联合影响归入随机扰动项。

2）模型设定误差。由式（2-4）可知，为精确探讨被解释变量均值发生改变的影响因素，在构建计量经济模型时，应将能导致被解释变量均值发生改变的所有因素纳入模型（2-4）中，若存在对总体认识不到位或者变量难以测量等问题，可能导致部分解释变量未能纳入方程（2-4）中，这些因素对被解释变量均值的影响被纳入随机扰动项中。另外，在权衡模型的精准性和简洁性时，会在综合考量后省略一部分理论上或经验上认为对被解释变量均值影响较小的因素，这一部分因素对被解释变量的影响也被纳入随机扰动项。此外，在选择f（.）的具体数学形式时，由于经济系统变量间数量关系研究相对薄弱，f（.）的选择往往是通过样本点的整体走势选择能够尽可能解释样本点信息的模型形式，如果选择的模型形式与客观存在的f（.）之间存在误差的话，就产生了模型形式设定误差，这一部分误差也被纳入随机扰动项中。

3）测量误差。由于主客观的原因，变量测量可能存在测量误差，这种测量误差的影响也被纳入随机扰动项中。

4）经济现象内在的随机性。即使将所有能够导致被解释变量Y均值发生改变的因素全部纳入模型，且f（.）的形式选择是正确的，同时不存在测量误差，人的经济行为还是具有不可重复性和随机性。例如，涉及人思想行为的变量很难控制，且具有内在随机性，这种内在随机性可能影响人的经济行为，进而表现为经济变量的随机性。这种变量内在的随机性影响只能纳入随机扰动项中。(www.xing528.com)

随机扰动项的内涵十分丰富，在计量经济学研究中起着重要作用，在一定程度上随机扰动项的性质决定了计量经济学模型的选择和运用。

（三）总体回归模型

结合式（2-4）和式（2-6）可得

可见，被解释变量个别观测值包含两部分，其一是条件均值部分f（Xi），其二是随机扰动ui引起的个别值与条件均值的偏离。f（Xi）决定了给定条件X=Xi下被解释变量Y平均水平，进而决定了被解释变量Y随着解释变量X变化的整体变化趋势；ui决定了Yi偏离条件均值f（Xi）的情况，进而决定了被解释变量Y的条件分布随解释变量X变化的变异情况。式（2-7）也称为总体回归函数的个别值形式，或称随机设定形式。如果f（.）为线性函数，式（2-7）即为

将被解释变量Y所有个别取值形式统一为一个模型可表示为

正是因为式（2-7）和式（2-9）引入了随机扰动项，使之成为了计量经济学模型，一般称式（2-9）（或式（2-7））为总体回归模型（也称为随机总体回归方程）。

总体回归模型、总体回归函数和随机扰动项的关系如图2-5所示。

图2-5　总体回归模型、总体回归函数和随机扰动项示意图

在给定X=Xi的条件下可以根据总体分布找到对应的条件分布（如图2-5中的曲线所示）；所有条件均值（如图2-5中圆点所示）与对应条件X=Xi形成的点的集合称为总体回归线（如图2-5中穿过所有圆点的直线），其解析式即为总体回归函数；对于个别观测值Yi来讲，其与给定条件下条件均值E（Y/X=Xi）的偏离是由该条件下的随机扰动项ui引起的。对于样本点中的点（Xi，Yi）来讲，Yi-E（Y/X=Xi）为条件X=Xi下ui的一次观测值。