资金等值及其影响因素的计算方法

我们已经知道，资金有时间价值，即相同的金额，因其发生的时点不同，其价值就不相同；反之，不同时点绝对值不等的资金在时间价值的作用下却可能具有相等的价值。

资金等值是指与某一时间点上的实际经济价值等于另一时间点上的价值。例如，现将1 000元存入银行，年利率为2%，一年后可取出1 020元。那么我们说，一年后的1 020元与现在的1 000元是等值的。在工程经济分析中，资金等值是一个十分重要的概念，它为我们提供了一个计算某一经济活动有效性或者进行方案比较、优选的可能性。

（一）资金等值的影响因素

影响资金等值的因素有资金的数额、资金发生的时点及一定的利率。反映在资金等值计算基本公式上主要包括以下几项：

（1）现值（P）。现值又称本金，其是指某一现金流量值换算成当前时点上的金额，即指未来某一时点上的一定量现金折合为现在的价值。

（2）终值（F）。终值又称将来值，其是指现在一定量的现金在未来某一时点上的价值，俗称本利和，即某一现金流量值换算成未来终了时点上的金额。

（3）等额年金或年值（A）。等额年金或年值是指某一现金流量值换算成若干连续时点上且大小相等的金额。

（4）利率、折现或贴现率、收益率（i）。

（5）计息期数（n）。

（6）实际利率（i）。

（7）名义利率（r）。

（8）复利的周期数（m）。

（二）资金等值的计算

利用等值的概念，把在不同时点发生的资金金额换算成同一时点的等值金额，这一过程叫作资金等值计算。资金等值的计算方法与利息的计算方法相同，根据支付方式不同，可以分为一次支付系列、等额支付系列、等差支付系列和等比例支付系列。

当进行资金等值系列计算时，公式中的基本假设条件如下：

（1）项目的期初投资P 发生在现金流量图的0点。

（2）本期的期末及下期的期初。

（3）A 和F 均在期末发生。

1.一次支付系列

一次支付又称整付，是指所分析系统的现金流量，无论是流入或是流出，均是一次性发生。

终值与现值的计算涉及利息计算方式的选择。目前有两种利息计算方式，即单利和复利。在单利方式下，每期都按初始本金计算利息，当期利息即使不取出也不计入下期本金，计算基础不变。在复利方式下，以当期期末本利和为计息基础计算下期利息，即利上加利。在现代财务管理中一般用复利方式计算终值与现值，这是由于利息也参与资金运动并产生增值，用复利的计算方法更加科学。因此，一次性收付款的现值和终值有时也称为复利现值和复利终值。

（1）单利的终值和现值。为便于同后面介绍的复利计算方式相比较，加深对复利的理解，这里先介绍单利的有关计算。

1）按照单利的计算法则，利息的计算公式为

除非特别指明，在计算利息时，给出的利率均为年利率，对不足一年的利息以一年等于360天来折算

【例4-4】 张某持有一张带息商业票据，票面利率为8%，面额为10 000元，出票日期为3月1日，到期为5月30日（90天），则张某到期可得利息是多少？

【解】 其现金流量图如图4-2所示。

I＝10 000×8%×90/360＝200（元）

图4-2　带息商业票据的现金流量图

2）单利终值的计算公式如下：

单利现值的计算同单利终值的计算是互逆的，由终值计算现值的过程称为折现。

3）单利现值的计算公式为

【例4-5】 李某希望在4年后取得本利和10 000元，用以支付一笔款项。则在利率为5%，单利方式计算条件下，李某现在需存入银行的资金是多少？

【解】 其现金流量图如图4-3所示。

图4-3　存入银行资金的现金流量图

P＝10 000/（1＋4×5%）＝8 333.33（元）

（2）复利的终值和现值。

1）复利终值公式。复利终值是指一定量的本金按复利计算若干期后的本利和。复利的终值（已知现值P，求终值F）计算举例如下：

【例4-6】 李某现将10 000元存放于银行，年存款利率为5%，问一年后的本利和为多少？n年后的本利和是多少？

【解】 其现金流量图如图4-4所示。

图4-4　存入银行资金的现金流量图

如李某并不提走现金，将10 500元继续存在银行，则第二年本利和为

同理，第三年的本利和为

第n年的本利和为

式中，（1＋i）n 通常称为“一次性收付款项终值系数”，简称“复利终值系数”，用符号（F/P，i，n）表示。如本例（F/P，5%，3）表示利率为5%、3期复利终值的系数。复利终值系数可以通过查阅附录一“复利因子表”直接获得。

“复利因子表”的第一行是利率i的各种相关系数，第一列是计息期数，相应的（1＋i）n在其纵、横相交处。通过该表可查出，（F/P，5%，3）＝1.157 6。即在利率为5%的情况下，现在的1元和3年后的1.157 6元在经济上是等效的，根据这个系数可以把现值换算成终值。

2）复利现值公式。复利的现值（已知终值F，求现值P）计算如下：

在某一特定时点上一次性支付（或收取），经过一段时间后再相应地一次性收取（或支付）的款项，即为一次性收付款项。这种性质的款项在日常生活中十分常见。例如，存入银行一笔现金100元，年利率为复利10%，经过3年后一次性取出本利和133.10元，这里所涉及的收付款项就属于一次性收付款项。

上述3年后的本利和133.10元即为终值。上述3年后的133.10元折合为现在的价值为100元，这100元即为现值。

复利现值相当于原始本金，它是指今后某一特定时点收到或付出的一笔款项，按折现率（i）所计算的现在时点的价值。其计算公式为

式中，（1＋i）－n通常称为“一次性收付款项现值系数”，记作（P/F，i，n），可以直接查阅“复利因子表”获得。

【例4-7】 某企业投资项目预计5年后可获得收益1 000万元，按投资报酬率10%计算，则现在应投资多少？

【解】 其现金流量图如图4-5所示。

图4-5　某投资项目的现金流量图

2.等额支付系列

等额支付系列是多次收付形式的一种。多次收付是指现金流量不是集中在一个时点上发生，而是发生在多个时点上。现金流量的数额大小可以是不等的，也可以是相等的。当现金流量大小相等时，发生时间是连续的，就称为等额支付系列，其现金流量又叫作年金。

年金是指一定时期内每次等额收付的系列款项，通常记作A。值得注意的是，年金并未强调时间间隔为一年。年金的形式多种多样，如保险费、养老金、折旧、租金、等额分期收款、等额分期付款以及零存整取或整存零取储蓄等，都存在年金问题。年金按其每次收付发生的时点不同，可分为普通年金、即付年金、递延年金、永续年金等几种。

（1）普通年金终值的计算（已知年金A，求年金终值F）。普通年金是指从第一期起，在一定时期内每期期末等额发生的系列收付款项，又称后付年金。

如果年金相当于零存整取储蓄存款的零存数，那么，年金终值就是零存整取的整取数，年金终值的计算公式为

整理式（4-10），可得

式中，称为“年金终值系数”，记作（F/A，i，n），可通过直接查阅“复利因子表”求得有关数值。

【例4-8】 李某在5年内每年年末在银行存款100万元，存款利率为10%，李某5年后应从银行取出本利和为多少？

【解】 其现金流量图如图4-6所示。

图4-6　李某银行存款的现金流量图

（2）年偿债基金的计算（已知年金终值F，求年金A）。偿债基金是指为了在约定的未来某一时点清偿某笔债务或积聚一定数额的资金而必须分次等额形成的存款准备金。由于每次形成的等额准备金类似年金存款，因而同样可以获得按复利计算的利息，所以，债务总额实际上等于年金终值，每年提取的偿债基金等于年金A。也就是说，偿债基金的计算实际上是年金终值的逆运算。其计算公式为

式中，称为“偿债基金系数”，记作（A/F，i，n），它与年金终值系数（F/A，i，n）互为倒数。

【例4-9】 张某希望能在10年后得到一笔4 000元的资金，在年利率为5%的条件下，张某需每年均匀地存入银行多少现金？

【解】 其现金流量图如图4-7所示。

图4-7　已知终值求年金现金流量图

根据式（4-12）可求得：(www.xing528.com)

即张某每年应存入银行318元。

（3）普通年金现值的计算（已知年金A，求年金现值P）。年金现值是指一定时期内每期期末等额收付款项的复利现值之和。年金现值的计算公式为

整理式（4-13），可得：

式中，称为“年金现值系数”，记作（P/A，i，n），可通过直接查阅“复利因子表”获得有关数值。

式（4-14）也可以写作

【例4-10】 王某为了在未来的10年中，每年年末取回5万元，已知年利率为8%，现需向银行存入多少现金？

【解】 其现金流量图如图4-8所示。

P＝5×(P/A,8%,10)

＝33.55（万元）（P/F，i，n）＝1/（F/P，i，n）（P/A，i，n）＝1/（A/P，i，n）（F/A，i，n）＝1/（A/F，i，n）

即王某现需向银行存入33.55万元。

图4-8　某银行年金现金流量图

（4）年资本回收额的计算（已知年金现值P，求年金A）。资本回收是指在给定的年限内等额回收初始投入资本或清偿所欠债务的价值指标。年资本回收额的计算是年金现值的逆运算，资本回收公式可以通过复利终值公式与年金终值公式，以n 时间点为等值转换点变换求得。其现金流量图如图4-9所示。其计算公式为

式中，称为“资本回收系数”，记作（A/P，i，n），可直接查阅“复利因子表”或利用年金现值系数的倒数求得。式（4-16）也可写作

图4-9　资本回收现金流量图

【例4-11】 某企业现借100万元的借款，在10年以内以年利率为12%等额偿还，则每年应付金额是多少？

【解】 其现金流量图如图4-10所示。

图4-10　贷款的现金流量图

或 A＝100×[1/（P/A，12%，10）]

＝100×(1/5.650 2)

≈17.7（万元）

（5）公式总结。总结上面的六个基本公式，其系数存在以下关系：

1）倒数关系。

2）乘积关系。

(F/P,i,n)(P/A,i,n)＝(F/A,i,n)

(F/A,i,n)(A/P,i,n)＝(F/P,i,n)

3）其他关系。

(A/F,i,n)＋i＝(A/P,i,n)

[(F/A,i,n)－n]/i＝(F/G,i,n)

[(P/A,i,n)－n(P/F,i,n)]/i＝(P/G,i,n)

[1－n(A/F,i,n)]/i＝(A/G,i,n)

3.等差系列

在经济分析中，经常会遇到其现金流量呈等差数列规律变化的问题，可能递增，也可能递减，若每年增加或减少的量是相等的，就适合用等差系列公式。

（1）等差系列现值公式。

式中 G——每年发生金额的等差值；

A——第一年年末发生的金额。

该公式的含义是，第一年年末发生的金额为A，此后每年发生金额的差额为G，第n年年末发生的金额为（n－1）G，求这些金额的现值总额P 为多少。现金流量图如图4-11所示。当A＝0时，该式可写成：

式中，称为“等差系列现值系数”，记作（P/G，i，n），可直接查阅“定差因子表”或利用年金现值系数的倒数求得。

图4-11　现值公式的现金流量图

【例4-12】 某项目建成投产后第一年年末净收益为8 万元，以后每年净收益会递增2.5万元。若年利率为5%，试求5年后其每年收益的现值总和。

【解】 根据等差系列现值公式：

（2）等差系列终值公式。

该公式的经济含义是：期初发生一笔现金流量A，以后每期都以G 的差额递增或递减，则经过n期以后，其现金流量的终值F 是多少。其现金流量图如图4-12所示。当A＝0时，该式可写成：

式中，称为“等差系列终值系数”，记作（F/G，i，n），可直接查阅“定差因子表”或利用年金现值系数的倒数求得。

图4-12　终值公式的现金流量图

【例4-13】 某设备投产后，第一年折旧5万元，以后每年折旧递增1.5万元。若年利率为5%，试求5年后该设备的折旧总额。

【解】 根据等差系列终值公式：

（3）等差系列年值公式。

式中，称为“资本回收系数”，记作（A/G，i，n），可直接查阅“定差因子表”或利用年金现值系数的倒数求得。

4.等比系列公式

在经济分析中，还会遇到一些现金流量是以一定的比率递增或递减的问题，这时就需要用到等比系列公式。

（1）等比系列现值公式。

式中 A——第一年年末现金流量；

j——现金流量每年递增或递减的比率。

该公式的经济含义是：第一年的现金流量是A，以后每年的现金流量以j的比率递增，则n年后各年的现金流量现值的总和是多少。其现金流量图如图4-13所示。

图4-13　等比系列现值公式的现金流量图

式中，称为“等比系列现值系数”，因此，当i≠j时，等比例系列现值公式又可记作：

P＝A(A/P,i,j,n)

【例4-14】 某设备第一年的维修费用为2万元，以后每年递增10%，若年利率为5%，试求5年后该设备维修费的总额。

【解】 根据等比系列现值公式：

（2）等比例系列终值公式。

式中，称为“等比系列终值系数”，因此，当i≠j 时，等比例系列现值公式又可记作：

F＝A(A/F,i,j,n)

等比例系列终值公式的现金流量图如图4-14所示。

图4-14　等比系列终值公式的现金流量图