蒙提霍尔悖论：认知难题解析

Naked Statistics

在《让我们做个交易》节目中，主持人打开的3号门后面是一头羊，在剩下的1号门和2号门中必定有一扇门后面是汽车，你应该如何选择才能中大奖？

“蒙提·霍尔悖论”是一个著名的概率难题。1963年美国开播的电视游戏节目《让我们做个交易》中，参赛者们就会面临这个难题。正是这个亘古不变却又兴致盎然的悖论，让这类竞赛游戏长盛不衰，至今有许多国家的电视台依然在制作并播放类似的节目。记得读小学的时候一回家我就会打开电视观看《让我们做个交易》。这个节目给统计学家带来了巨大的惊喜，关于这一点我在序言里已经讲过了。每一期节目播到最后，总会有一个参赛者脱颖而出，站在主持人蒙提·霍尔旁边，在他们的眼前有3扇巨大的门，编号分别为1、2、3。蒙提会告知参赛者，其中的一扇门的门后摆放着极为诱人的大奖（比如说一辆小轿车），而另外两扇门的后面各站着一头羊，参赛者需要在这3扇门中选择一扇门，并获得那扇门后面的奖品。（如果有参赛者选中了羊，我怀疑他们是不是真的会把那头羊牵回家，因为在普通人看来，绝大多数参赛者都希望能开一辆新车回去。）

游戏刚开始时，中大奖的概率一目了然，两头羊和一辆车，参赛者有1/3的概率选中那扇后面是轿车的大门。但正如之前提到的，这个节目及其主持人蒙提·霍尔之所以能够在美国概率学课本中占得一席之地，是因为这个节目还有一个精心的安排。当参赛者选择了一扇门之后，蒙提会打开剩下的两扇门中的一扇，向观众和选手展示这扇门后面的奖品—一头羊，然后蒙提会再次询问参赛者是否要改变当初的选择，也就是在最初选择的那扇门和剩下的那扇门中再选择一次。

为了让表述更加清楚，我们假设参赛者最初选择的是1号门，蒙提随后打开了3号门，发现门后站着一头活羊。此时，场上还有两扇门是关着的，1号门和2号门，如果小轿车藏在1号门的后面，那么参赛者就中奖了，如果小轿车藏在2号门的后面，参赛者就会与大奖失之交臂。但就在这个时候，蒙提并不急于揭晓答案，而是再次询问参赛者是否坚持原来的选择，如果参赛者改变主意了，就相当于放弃了一开始选的1号门，而改选2号门。记住，这两扇门此时依旧紧闭着。参赛者唯一得到的新信息是，在自己刚刚没有选择的那两扇门中，至少有一扇门的后面是一头羊。

参赛者应不应该改变最初的选择？

答案是肯定的。如果参赛者坚持最初的选择，那么中大奖的概率为1/3；如果改选剩下的那扇门，那么中奖的概率就是2/3。如果你不相信的话，请往下读。

我承认这样的一个答案似乎有违直觉，因为在这个过程中，参赛者中大奖的概率似乎一直都是1/3，不管这个参赛者后来有没有改变选择。一共有3扇关闭的大门，一开始的时候每一扇大门后面藏着大奖的概率都是1/3，但是当参赛者改变自己最初的选择转而选择另一扇门之后，中奖的概率会随之变化吗？

问题的关键就在于，主持人蒙提·霍尔本人是知道每一扇门背后的奖品的。如果参赛者选择了1号门，而且恰好小轿车就在这扇门的门后，那么蒙提就可以在2号或3号门中随便选一扇门打开，向观众展示一头羊。

如果参赛者选择了1号门，而小轿车停在2号门后，那么蒙提就会打开3号门。

如果参赛者选择了1号门，而小轿车停在3号门后，那么蒙提就会打开2号门。

通过改变之前的选择，参赛者就能从两次选择中获益，好处自然要比一次选择多。为了说服大家，我会用3种不同的方法来证明这一分析的正确性。

第一种是从经验主义角度出发的。2008年，《纽约时报》专栏作家约翰·泰拿尼专门就“蒙提·霍尔现象”写了一篇文章。随后这份报纸还在网站上开辟了一个互动专题，读者可以亲身体验这个游戏，包括提示你是否要改变选择，游戏的最后甚至还有可爱的小羊和小轿车从门后跳出来揭晓答案。这个游戏会记录下你改变和坚持最初选择的成功率，你可以试一下。我特地让我的小女儿玩了100次这个游戏，每次都在打开一扇有羊的门后改变最初的选择；然后又找她的哥哥玩了100次，全都坚持一开始的选择。我的女儿有72次中了大奖，儿子只中了33次。他们都从我这里获得了两美元的辛苦费。(www.xing528.com)

《让我们做个交易》节目每期的统计结果也印证了这一点。《醉汉的脚步》的作者列纳德·蒙洛迪诺也证实，那些改变选择并得到大奖的参赛者人数是坚持最初选择并中奖的参赛者的两倍。

我的第二个解释是从直觉出发。假设游戏规则有变，首先参赛者会在1、2、3号门中挑选一扇，然后主持人蒙提在打开一扇门之前，问道“你是否愿意放弃你之前的选择，换取另外两扇门后面的奖品？”也就是说，如果你选择的是1号门，你可以放弃那扇门，从而获得2号和3号门后面的奖品；如果你选择的是3号门，你可以换成1号和2号门。

这并不是一个非常难作的决定。显而易见，你应该放弃一扇门换取两扇门，这样你中大奖的概率就从1/3上升到了2/3。接下来，就是见证奇迹的时刻了：蒙提·霍尔在节目中展示一扇门后的羊，其实做的是相同的事情。一个最基本的道理，如果你能选择两扇门，那其中肯定有一扇门的门后是羊。主持人在问你是否要更换选择之前，打开了一扇门后有羊的门，实际上是为你做了一件大好事！他的言下之意就是，“你没有选的那两扇门有2/3的概率中大奖，而且你看，我已经帮你排除一扇门了！”

我们试想一下，假设你选择了1号门，蒙提接着问你是否要换成2号和3号门，然后你接受了，放弃一扇门换来两扇门，你此时得到轿车的概率也就上升为2/3。而就在这个时候，蒙提打开了3号门—也就是你选择的两扇门中的一扇—发现门后是一头羊，你会有什么感受？是觉得自己中奖的希望变渺茫了？当然不是！如果轿车藏在3号门的后面，那么他打开的肯定会是2号门！蒙提可以说是什么都没干。

如果游戏正常进行，蒙提实际上是给你提供了两个选择，要么坚持最初选的那扇门，要么选择剩下的两扇门—只不过其中有一扇后面是羊的门被打开了，在这个过程中，蒙提还告诉了你另外两扇门中哪一扇门后面没有大奖，因此在如下的两种情况中你中大奖的概率是相同的：

1.先选择1号门，然后在任何一扇门打开之前同意换成2号和3号门。

2.先选择1号门，然后在蒙提打开有羊的3号门之后同意换成2号门（或者在蒙提打开有羊的2号门之后同意换成3号门）。

在这两种情况下，通过改变选择，你中奖的概率都由原来的一扇门增加到两扇门，因此你的赢面也从1/3上涨为2/3。

我的第三种解释更像是第二种解释的极端版。假设摆在你面前的不是3扇门，而是100扇门。当你选择其中一扇门（比如说47号门）之后，蒙提·霍尔在剩下的99扇门中打开了98扇有羊的门，此时就剩两扇门没有打开了，一扇是你最初选择的47号门，一扇是蒙提剩下的（比如说61号门），你要换吗？

绝对要换！小轿车有99%的概率藏在你没有选的那99扇门的后面，而蒙提还好心地为你打开了其中的98扇门，他知道这98扇门的后面都没有小轿车。也就是说，如果你坚持最初的选择（47号门），那么你开着小轿车回家的概率仅为1%，牵一头羊回家的概率却高达99%；如果你的最初选择是错误的，那么小轿车就肯定藏在另外一扇门后面（61号门），如果你想中大奖，那就应该将最初的47号门换成最后剩下的61号门。

简言之，如果你有机会参加《让我们做个交易》节目，当蒙提·霍尔（或者是他的继任者）问你是否要改变选择时，你要毫不犹豫地点头。更夸张的说法是，这个例子告诉我们，你对概率的本能理解有时候会将你引入歧途。