归除法及其用法说明

归除法也是一种比较古老的传统算法。古以除算为“归”，除数是一位数的除法叫单归，除数是两位或两位以上的除法叫归除。它包括“归”和“除”两个运算步骤，因此用归除法运算时，首先必须熟记九归口诀，并背诵如流，这样才能提高运算速度。

九归口诀如下。

一归(用1 除)：逢一进1，逢二进2，逢三进3，逢四进4，逢五进5，逢六进6，逢七进7，逢八进8，逢九进9。

二归(用2 除)：逢二进1，逢四进2，逢六进3，逢八进4，二一添作5。

三归(用3 除)：逢三进1，逢六进2，逢九进3，三一3 余1，三二6 余2。

四归(用4 除)：逢四进1，逢八进2，四二添作5，四一2 余2，四三7 余2。

五归(用5 除)：逢五进1，五一倍作2，五二倍作4，五三倍作6，五四倍作8。

六归(用6 除)：逢六进1，逢十二进2，六三添作5，六一下加4，六二3 余2，六四6余4，六五8 余2。

七归(用7 除)：逢七进1，逢十四进2，七一下加3，七二下加6，七三4 余2，七四5余5，七五7 余1，七六8 余4。

八归(用8 除)：逢八进1，八四添作5，八一下加2，八二下加4，八三下加6，八五6余2，八六7 余4，八七8 余6。

九归(用9 除)：逢九进1，九一下加1，九二下加2，九三下加3，九四下加4，九五下加5，九六下加6，九七下加7，九八下加8。

九归口诀共61 句。九归口诀在运算中按其拨珠情况不同，可分为4 类：即“几几几余几”、“几几下加几”、“几几改作几”和“逢几进几”。其中，除了“逢几进几”类的口诀，另外3 类口诀中的第1 个数字为除数，第2 个数字为被除数，再后面的是商或余数。

现以八归为例(即除数为8)，说明九归口诀的用法。

(一)九归口诀的用法

1.“几几几余几”口诀

凡是被除数小于除数但不能整除的，都用这类口诀。

例3-45　60÷8=7…4

运算时，把本档的被除数改作商数，并在其右一档加上余数。

(1)算盘上原有被除数6。

(2)“八六7 余4”，把本档被除数6 改作商数7，再在右一档加上余数4。

2.“几几改作几”口诀

凡是被除数小于除数而且能够除尽的，都用这类口诀。

例3-46　40÷8=5

实际上，此例口诀可念作“八四5 余0”，因为没有余数，所以把口诀改成“八四改作5”。运算时，“改作”就是本档把被除数改成商数。

(1)算盘上原有被除数4。

(2)“八四改作5”，把本档的被除数4 改作商数5，即在本档拨去4，同时在本档拨入5。

3.“几几下加几”口诀

凡是被除数小于除数(均以一位数相比较)，不够除又不能除尽，而商数恰好等于原被除数的，都用这类口诀。

例3-47　10÷8=1…2

运算时，被除数在本档不动(即成为商数)，“下加”就是在其右一档加上余数。

(1)算盘上原有被除数1。

(2)“八一下加2”，本档1 不动，在右一档加上余数2。

4.“逢几进几”口诀

凡是被除数等于或大于除数(即“够除”)，不论是否能除尽，都用这类口诀。

例3-48　8÷8=1…0

“逢几进几”的口诀全名应为“逢几去几进几”，“逢几”意为“遇到几”，“去几”意为“拨去几”，“进几”就是按商数在左档上加上几颗算珠。把“去几”省略，口诀改为“逢几进几”，其中“逢几”既包含有“遇到几”，也包含有在本档“拨去几”的意思。

(1)算盘上原有被除数8。

(2)“逢八进1”，就是从本档拨去除数8，在左一档加上商数1。

如果遇到被除数大于除数且除不尽的情况，仍用“逢几进几”的口诀，而把余数留下来作为下一次的被除数，再用适当的口诀另做处理。例如，10÷8=1…2，用九归口诀“逢八进1”后，余数2 再用八归的“八二下加4”口诀继续运算。

九归口诀中的拨珠动作，总的来说，“逢”是指拨去本档算珠，“进”是指在左一档加上算珠，“下加”和“余”是指在右一档加上算珠，“改作”是指在本档上改变算珠。

运用九归口诀进行除法运算，试商容易确定，可减少心算，且档次分明，拨珠次数少，可节省运算时间，因而要熟记口诀。

(二)归除的一位数除法

除数是一位数的除法为一位除法，在归除运算中也称单归或九归，其运算步骤及方法如下。

1. 置数

如果以固定个位法确定商的位数，应首先按归除法对应的置数公式拨置被除数。

2. 求商

除数是几，就是几归口诀，求商的顺序是从被除数最高位开始，从左至右运算。

3. 置商档次

按照九归口诀的拨珠方法置商。

4. 运算结果

除尽的算题，盘上数值即为商数；除不尽，求到精确位数后，看余数是否大于或等于除数的1/2，以确定末商是否加1。

例3-49　4.45÷6=0.74(保留两位小数)

(1)根据固定个位法的置数公式D=A-B=1 位-1 位=0 位，将被除数从0 位档开始拨入算盘，如图3-113 所示。

图3-113

(2)除数为6，用九归口诀求商。“六四6 余4”，把本档4 改作6，把余数4 加在右一档上，余数首位得8，如图3-114 所示。

图3-114

(3)“逢六进一”，拨去本档6，在左一档原商数上再加商数1，余数首位为2，如图3-115所示。

图3-115

(4)“六二3 余2”，把本档2 改作3，把余数2 加在右一档上，余数首位得7，如图3-116所示。

图3-116

(5)“逢六进1”，拨去本档6，在左一档原商数上再加上商数1，余数为1。因为余数1 小于除数的1/2，舍去，所以商数为0.74，如图3-117 所示。

图3-117

(三)归除的多位数除法

除数是两位或两位以上非0 数字的除法为多位除法，又称归除或大九归。它的运算分为“归”和“除”两个步骤。“除”即“除去”的意思。例如，除数为389，就是“三归89 除”，除数是0.487 2，就是“四归872 除”。

在归除法中，由于所用口诀和运算方法的不同，分为基本归除、补商、退商和撞归4 类。

1. 基本归除

基本归除是归除运算中的基本运算方法，运算步骤如下。

(1)置数和定位。若用固定个位法确定商的位数，则按置数公式得出被除数首位所在的档位，运算后盘面数值即为商数；若用公式定位法，应将被除数首位置在一个带有定位点的档上，运算后，如果商的首位数落在该定位点的档上，就用公式(3-3)定位，若商的首位数落在定位点左一档上，则用公式(3-4)定位。

(2)运算顺序和方法。从被除数的首位起，由高到低依次除到末位或除到所要求的精确度为止。运算分为“归”和“除”两步：首先，用除数首位数除被除数的首位数，按照九归口诀(除数首位数为几，就用几归几口诀)求出“试商”，这就是“归”；其次，从被除数中减去试商同除数第2 位及以后各位数字相乘的积，这就是“除”，乘减以后的商叫作“成商”。若乘减后仍有余数，这时应把余数首位看作被除数首位，再按上述步骤继续运算，直到除尽或除到精确度所要求的位数为止。

(3)减积档次。试商与除数的第几位相乘的个位积，就从试商右边的第几档上减去，在其左一档减去积的十位数，其运算规律是递位迭减。因此，为了避免减错档次，需把手指停留在每次减积的个位档上，遇到除数中间有0 时，有几个0，把手指向右移几档。

(4)运算结果。采用固定个位法，盘面数值即为商数，遇到除不尽时保留精确位数的方法与一位除法相同。若采用按公式定位法，则将盘面数字用公式定位后得出商数。

例3-50　768÷64=12

(1)按照固定个位法的置数公式D=A-B=3 位-2 位=+1 位，被除数从+1 位档起入盘，除数可默记或看算题，如图3-118 所示。

图3-118

(2)除数首位数为6，用六归口诀试商。“逢六进1”，从被除数本位7 减去6，在左一档拨入1，得试商1，如图3-119 所示。

图3-119

(3)用试商1 同除数的第2 位数4 相乘，为一位数，就在试商右二档减4，如图3-120 所示。

图3-120

(4)余数头两位为12，是除数6 的2 倍，形成“逢12 进2”，将12 中的1 改作2，拨去12 中的2，试商为2，如图3-121 所示。

图3-121

(5)用试商2 同除数的第2 位数4 相乘，从试商的右二档上拨去8，正好除尽，原已确定的+1 位档即为商数个位，所以商数为12，如图3-122 所示。

图3-122

例3-51　7 896.84÷98=80.58

(1)按照固定个位法的置数公式D=A-B=4 位-2 位=+2 位，被除数从+2 位档起入盘，如图3-123 所示。

图3-123

(2)除数首位为9，用九归口诀试商“九七下加7”，本档7 成为试商，下加余数7作为悬珠，再从右一档减去2，连同悬珠7 一起，“逢九进1”，故在原试商上加1，得试商8，如图3-124 所示。

图3-124

(3)从试商8 右一档起，减去试商8 与除数第2 位8 的乘积64，如图3-125 所示。

图3-125

(4)用九归口诀试商。“九五下加5”，本档5 成为试商，默记加的余数5 在右一档成为悬珠，如图3-126 所示。

图3-126

(5)从试商右一档减去试商5 同除数第2 位8 的乘积40，因为该档有悬珠5，所以从悬珠中减去4，把悬珠剩下的1 加在本档上，如图3-127 所示。

图3-127

(6)用九归口诀试商。“九七下加7”，下加的7 在右一档成为悬珠，连同右一档减去2，可“逢九进1”得试商8，如图3-128 所示。

图3-128

(7)从试商右一档起减试商8 与除数第2 位8 的乘积64，恰好除尽。根据原已确定的+1 位档为商的个位，商数为80.58，如图3-129 所示。

图3-129

例3-52　0.298 7÷0.084=3.56

(1)按照固定个位法的置数公式D=A-B=0 位-(-1)位=+1 位，被除数从+1 位档起入盘，如图3-130 所示。

图3-130

(2)除数首位为8，用八归口诀中的“八二下加4”，本档2 成为试商，下加余数4作为悬珠，再从右一档减去4，连同悬珠4 一起“逢八进1”，在原试商上加1，得试商3，如图3-131 所示。

图3-131

(3)从试商右一档起，减去试商3 与除数第2 位数4 的乘积12，如图3-132 所示。

图3-132

(4)用八归口诀试商。“八四改作5”，把本位4 改作试商5，如图3-133 所示。

图3-133

(5)从试商右一档起减去试商5 与除数第2 位数4 的乘积20，如图3-134 所示。

图3-134

(6)用八归口诀试商。“八四改作5”，把本位4 改作试商5，如图3-135 所示。

图3-135

(7)从试商右一档起，减试商5 与除数第2 位数4 的乘积20，得商数3.55，余数50。余数50＞84÷2，做“五入”处理，进1，商数为3.56，如图3-136 所示。

图3-136

2. 补商

在多位除法运算过程中，有时会出现试商偏小的情况，原因是试商是根据除数首位数字与被除数(或余数)首位数字相除求出的，没有考虑被除数(或余数)第2 位起以下的数字。在运算中出现乘减后余数仍大于或等于除数时，则须要补商。补商的方法为：在试商上加1，同时在余数中减1 倍除数(包括首位数)；试商上加几，就在余数中减几倍除数。

例3-53　256÷64=4

(1)用固定个位法置数公式D=A-B=3 位-2 位=+1 位，确定从+1 位档起拨入被除数，如图3-137 所示。

图3-134

(2)除数首位为6，用六归口诀试商。“六二3 余2”，得试商3，余数2 加在右一档上，如图3-138 所示。

图3-138

(3)从试商右一档起减去试商3 与除数第2 位数4 的乘积12，余数64 等于除数，须补商，如图3-139 所示。

图3-139

(4)“逢六进1”，补商1，减去补商1 与除数第2 位数的乘积4，正好除尽，商数为4，如图3-140 所示。

图3-140

3. 退商

在多位除法运算过程中，试商偏大而致使被除数不够试商与除数第2 位及以下各位数的乘积拨减时，则须要退商，退商即减少试商。退商有下述两种情况。

一种情况是当用九归口诀试商后，就发现余数不够减，这时须要用退商口诀调整试商。退商口诀如下。

一归：无除退一下还1

二归：无除退一下还2

三归：无除退一下还3

四归：无除退一下还4

五归：无除退一下还5

六归：无除退一下还6

七归：无除退一下还7

八归：无除退一下还8

九归：无除退一下还9

退商口诀可归结为一句，即“几归无除退一下还几”。这里的“无除”，是指余数不够试商与除数第2 位及以下各位数字的乘积拨减；“退一”是指试商减1；“下还几”是指把除数首位数字加在试商的右一档上。

例3-54　6.67÷0.29=23

(1)按固定个位法置数公式拨置被除数，如图3-141 所示。

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图3-141

(2)除数首位为2，用二归口诀试商。“逢六进3”，在被除数本位减6，在左一档加3，得试商3，如图3-142 所示。

图3-142

(3)应从试商右一档起减试商3 与除数第2 位9 的乘积27。但右一档是0，不够减(无除)，用二归退商口诀“无除退1 下还2”，退商1，从试商档上减1，在其右一档上加2，如图3-143 所示。

图3-143

(4)应从试商右一档起减去调整后商2 与除数第2 位数9 的乘积18，余数为87，如图3-144 所示。

图3-144

(5)用二归口诀试商。“逢八进四”，在被除数本位减8，在左一档加4，得试商4，如图3-145 所示。

图3-145

(6)应从试商右一档起减试商4 与除数第2 位9 的乘积36。但右一档不够减(无除)，用二归退商口诀“无除退一下还2”，从试商档上减1，在其右一档上加2，如图3-146 所示。

图3-146

(7)从试商右一档减去调整后商3 与除数第2 位数9 的乘积27，无余数，正好除尽，商数为23，如图3-147 所示。

图3-147

另一种情况是在归除运算过程中，在减去试商与除数第2 位及以下各位数的乘积过程中，才发现不够除而需要退商，这种退商叫中途退商。中途退商的方法为：试商退1(减1)，把已经乘减过那几位除数(包括首位)，从试商右一档开始加在余数上，然后再将调整后的商继续与未实现除去的那几位除数相乘，从被除数中减去。中途退商的口诀可记作“无除商退一，挨商加还除过数”。

例3-55　964÷483=1…481

(1)用四归口诀试商。“逢八进2”，得试商2，如图3-148 所示。

图3-148

(2)从试商右一档起递位迭减试商2 与除数第2 位数的乘积之后，余数只剩4，不够减试商2 与除数第3 位数乘积，须退商，如图3-149 所示。

图3-149

(3)使用中途退商口诀“无除商退1，下位加还除过数”，从试商右一档起加上已乘减过的除数48，手指停留在“除过数”的末位上，如图3-150 所示。

图3-150

(4)从手指停留的“除过数”末位(即试商右三档)起，减去调整后商1 与除数第3位数3 的乘积3，如图3-151 所示。

图3-151

4. 撞归

撞归又称齐头，是指在做归除运算时，有时被除数首位同除数首位相等，但以下位数被除数又小于除数，如612÷638。这时用九归口诀“逢几进1”试商为1 时，又不能完成除数所有位数的“除去”，只有退商。因此，遇到这种情况时，用撞归口诀，把被除数首位数字改作商数9，把余数加在商数9 的右边档上，再进行乘减。撞归口诀如下。

一归：见一无除作九一

二归：见二无除作九二

三归：见三无除作九三

四归：见四无除作九四

五归：见五无除作九五

六归：见六无除作九六

七归：见七无除作九七

八归：见八无除作九八

九归：见九无除作九九

对这9 句口诀，可只记住“见几无除作九几”。口诀中“见几”，是指除数与被除数首位数字同是几，就是“几归”；“无除”，是指被除数不够一倍除数“除去”；“作九几”是把被除数首位数字改成试商9，在试商的右一档加上几(同被除数和除数的首位几)。

例3-56　256 270÷2 615=98

(1)按照固定个位法置数公式D=M-N=6 位-4 位=+2 位，被除数从+2 位档起拨入盘中，如图3-152 所示。

图3-152

(2)除数首位为2，用撞归的二归口诀“见二无除作九二”，将被除数本档2 改作试商9，把余数2 加在右一档上，如图3-153 所示。

图3-153

(3)从试商右一档起递位迭减试商9 与除数第2 位、第3 位、第4 位相乘的积，如图3-154 所示。

图3-154

(4)用撞归二归口诀“见二无除作九二”，将被除数本档改作试商9，把余数2 加在右一档上，如图3-155 所示。

图3-155

(5)用试商9 与除数的第2 位相乘。从试商的右一档开始除去，如不够，则使用退商口诀“无除退一下还2”，如图3-156 所示。

图3-156

(6)用调整后的商8 与除数第2 位、第3 位、第4 位相乘的积从商的右一档上开始拨减，正好除尽。采用固定个位法确定+1 位档为个位，故商数为98，如图3-157所示。

图3-157

1. 加法运算练习。

(1)用直接的加法计算下列各题。

①4 615+5 263=　　　　　　　　　⑤6 137+2 861=　

②2 463+5 536=　⑥6 251+2 738=　

③1 680+8 219=　⑦3 529+6 470=　

④6 412+2 571=　⑧1 273+3 605=　

(2)用凑五的加法计算下列各题。

①4 434+3 433=　⑤3 241+3 424=　

②4 242+4 433=　⑥13 243+43 421=　

③2 234+3 342=　⑦2 234+3 342=　

④2 324+1 432=　⑧42 341+34 123=　

(3)用进十的加法计算下列各题。

①6 754+2 439=　⑤4 879+7 341=　

②3 947+8 745=　⑥7 536+3 529=　

③4 276+3 895=　⑦8 432+4 627=　

④7 598+3 512=　⑧9 583+2 329=　

(4)用破五进十的加法计算下列各题。

①9 676+5 768=　⑤6 768+6 576=　

②6 987+7 565=　⑥6 789+9 876=　

③7 678+7 876=　⑦7 678+8 766=　

④7 878+6 767=　⑧6 776+8 667=　

2. 减法运算练习。

(1)用直接的减法计算下列各题。

①3 516-2 516=　⑤1 895-1 865=　

②2 097-1 096=　⑥9 576-4 525=　

③4 109-3 108=　⑦4 927-3 817=　

④2 734-1 624=　⑧7 341-2 341=　

(2)用破五的减法计算下列各题。

①5 867-2 434=　⑤7 565-4 134=　

②8 757-4 324=　⑥6 776-3 433=　

③6 757-3 424=　⑦8 576-4 144=　

④7 586-3 442=　⑧5 665-1 423=　

(3)用退十的减法计算下列各题。

①22 131-9 654=　⑤21 231-8 693=　

②61 807-3 928=　⑥32 671-4 893=　

③11 201-8 974=　⑦12 120-3 453=　

④15 042-6 153=　⑧24 315-5 436=　

(4)用退十补五的减法计算下列各题。

①32 414-7 969=　⑤43 342-8 696=　

②84 354-6 978=　⑥48 344-9 767=　

③2 434-687=　⑦31 243-6 767=　

④67 945-7 868=　⑧96 543-8 976=　

3. 根据表中的要求，判断出下列各数的位数和数值。

4. 下列各题相乘的结果算盘上出现的都是234，试用乘法定位公式进行定位。

①36×65=　⑥0.36×0.000 65=　

②0.36×65=　⑦36×0.065=　

③0.036×6 500=　⑧3 600×6 500=　

④3.6×6.5=　⑨0.003 6×0.000 065=　

⑤36 000×0.65=　⑩360×650=　

5. 一位数乘法练习(保留两位小数，下同)。

①572.3×0.04=　⑥0.027 5×800=　

②524.55×0.3=　⑦2.09×0.04=　

③0.814×0.000 2=　⑧0.004 198×800=　

④250 500×40=　⑨0.019 305×0.07=　

⑤0.009 626 1×500=　⑩4.178 08×0.06=　

6. 二位数乘法练习。

①749×340=　⑥47.43×0.073=　

②0.316 7×72=　⑦57 362×0.008 6=　

③16.82×0.51=　⑧95 013×29=　

④6 907×690=　⑨32 475×5.7=　

⑤3 815×7.6=　⑩460.58×8.4=　

7. 多位数乘法练习。

①8.34×52.4=　⑥79.08×6 702=　

②7 651×0.908=　⑦320.1×56.47=　

③15.872×375=　⑧6 904×0.091 04=　

④37.82×0.006 75=　⑨4.068 9×0.251 3=　

⑤1 264×5 075=　⑩820.39×200.14=　

8. 省乘法练习。

①64.856 95×0.754 6=　⑥21.364 5×8.016 74=　

②37.846 5×43.726=　⑦0.687 751×53.167 4=　

③0.846 52×49.264 5=　⑧7.870 564×36.581 321=　

④93.794 606×0.815 648 7=　⑨10.625 713 5×48.624 735=　

⑤987.6×9.97=　⑩0.624 785 12×460.378 24=　

9. 破头乘法练习。

①462×358=　⑥375×46 207=　

②378×904=　⑦30 725×9.84=　

③0.598×62.17=　⑧816×705=　

④9 602×837=　⑨62.13×5.79=　

⑤418×239=　⑩489×6 013=　

10. 速算乘法练习。

①726×2=　⑦237×2=　

②628×2=　⑧4 578×2=　

③27 492×2=　⑨41 748×2=　

④7 452×5=　⑩45 619×5=　

⑤31 059×5=　⑪ 69 274×5=　

⑥74 618×5=　⑫693×5=　

11. 一位数除法练习。

①1 174÷400=　⑥22 022÷7=　

②14 708÷0.02=　⑦19 104÷60=　

③4 812÷8=　⑧21.90÷0.08=　

④474.57÷90=　⑨27.66÷0.4=　

⑤0.021 89÷0.8=　⑩211.95÷80=　

12. 多位数除法练习。

①176 904÷3 276=　⑪ 168.38÷0.615=　

②95 179.2÷60.24=　⑫ 3 040÷816=　

③387.05÷5.43=　⑬68.52÷0.369=　

④22.53÷6.05=　⑭ 0.632 55÷0.164=　

⑤0.353 98÷0.735=　⑮ 48.153 8÷0.327 8=　

⑥1 789÷28.36=　⑯ 592 122.84÷70.19=　

⑦270 218÷8 647=　⑰ 35 990 556÷3 742=　

⑧181 080÷2461=　⑱ 50987÷0.834 9=　

⑨7 709 628÷1 803=　⑲ 1 515.33÷609.3=　

⑩5 423.98÷69.35=　⑳ 20.061÷2.49=