珠算的商除法是一种古老的求商方法。这里“商”是指试商、估商；“除”是指除去，即试商与除数的乘积从被除数上拨减。商除法与笔算除法的计算方法基本相同，主要是先心算估商，将估商置于被除数左侧(笔算是将商写于算式的上方)，然后用估商与除数的最高位及依次各位(笔算是从除数的末位开始依次到高位)相乘，其积从被除数上减去。商除法由于方法简单，且不必另记口诀，因而易被初学者掌握，但此方法的主要特点是心算估商，因此，如果想提高估算的准确性及运算速度，就必须加强心算练习。
(一)一位数除法
除数是一位非0 数字的除法为一位除法。其运算方法的步骤如下。
1. 定位和置数
如果用公式定位法，是依据被除数首位与除数首位的非0 数字相比较的结果确定选用定位公式：如果被除数大，则位数相减加1；如果被除数小，则位数相减。如果用固定个位法确定商的位数，则首先确定一个带定位点的档为个位档，然后运用置被除数首位数档次公式(以下简称置数公式)D=A-(B+1)确定被除数首位所在档位，依次拨珠入盘。
2. 估商
运用九九口诀试商，使试商与除数乘积小于且最接近于被除数。
3. 置商
当被除数大于除数时，商置在被除数(或除数)首位的左二档上，其左一档为空档，因此称为隔位商；当被除数小于除数时，商置在被除数首位的左一档上，因此称为挨位商。由此，商除法的置商可以归结为一句话：数大隔位商，数小挨位商。
4. 减积
用试商与除数相乘，其积的十位数从商的右一档减去，积的个位数从商的右二档减去。
5. 运算结果
遇到除不尽的情况时，可按照计算要求保留相应位数的小数(如国家珠算等级鉴定要求中规定普通1～6 级，除算保留两位小数)。传统方法是：如果结果要求保留N位小数，则除算到小数点后N+1 位，然后做四舍五入处理。除这种方法外，还可采用减少一步除算，即不计算小数点后N+1 位的商，直接判断是否“舍去”或“入1”的问题，即计算到小数点后N 位商时，按余数是否等于或大于1/2 除数来判断。也就是说，余数大于或等于1/2 除数时，小数点后N 位商数加1，为“入1”；反之，商数不变为“舍去”。需要注意的是，由商除法得出的余数首位与商数应相隔一档(即余数首位在商右二档上)，要防止看错余数的位数。
例3-39 4 557÷7=651
(1)用商除法中固定个位法的置数公式D=A-(B+1)= 4 位-(1 位+1 位)= +2位，确定从+2 位档开始拨被除数，如图3-75 所示。
图3-75
(2)将被除数前两位与除数比较，用九九口诀心算估商6。“数小挨位商”，将试商6 拨到被除数首位的左一档上，如图3-76 所示。
图3-76
(3)从试商6 右一档起，减去试商6 与除数7 的乘积42，如图3-77 所示。
图3-77
(4)将余数357 看作被除数重新估商5。“数小挨位商”，把试商5 拨到余数首位的左一档上，如图3-78 所示。
图3-78
(5)将试商5 与除数7 的乘积35 从商的右一档开始拨减，如图3-79 所示。
图3-79
(6)将余数7 看作被除数，重新估商1，“数大隔位商”，把试商1 拨到余数首位的左二档上(隔一档)，如图3-80 所示。
图4-80
(7)从试商1 的右二档起，减去试商1 与除数7 的乘积7(九九口诀“一七07”，积的十位数为0，个位数为7)，正好除尽。按照固定个位法已确定商的个位，商数为651，如图3-81 所示。
图3-81
例3-40 4.45÷8=0.56(保留两位小数)
(1)用商除法中固定个位法的置数公式D=A-(B+1)= 1 位-(1+1)位=-1 位，确定被除数从-1 位档起拨入，如图3-82 所示。
图3-82
(2)用被除数44 与除数8 比较，心算估商5。“数小挨位商”，将试商5 拨到被除数首位的左一档上，如图3-83 所示。
图3-83
(3)从试商右一档起，减去试商5 与除数8 的乘积40，如图3-84 所示。
图3-84
(4)将余数45 看作被除数，重新心算估商5。“数小挨位商”，将试商5 拨到余数首位的左一档上，如图3-85 所示。
图3-85
(5)从试商右一档起，减去试商5 与除数8 的积40。余数首位在商的右二档上，应看作5＞8/2，“5 入进1”。按固定个位法已确定的+1 位档即为商的个位，故商数为0.56，如图3-86 所示。
图3-86
(二)多位数除法
除数为两个或两个以上非0 数字的除法为多位数除法。商除法的多位数除法与一位数除法的运算方法是相同的，只是增加了心算负担和减积步骤。其基本运算步骤和方法如下。
1. 定位和置数
与一位数除法相同，可根据自己掌握的程度选择公式定位法或固定个位法。
2. 估商
多位除法的估商，由于要完成两位或两位以上的除数，因此，在估商时不能像一位除法那样简单地用九九口诀心算估商，否则可能出现估商偏大或偏小的现象。估商偏大时，须退商；估商偏小时，则须补商，这些都影响运算速度。退商，尤其中途退商，更为繁难，因而估商时，一般情况下要“宁小勿大”。在实际计算中，可以采用“首位加1”的方法估商，即看除数的第2 位数，如果此数字大于或等于5，就用除数首位数加1的数字估商。
例如，5 396÷684，除数的第2 位数字8 大于5，就在除数首位数上加1，把684 看作一位数7 去除被除数的头两位数53，可以很快估商7。
如果除数的第2 位数字小于5，就用除数的首位数字估商。如果很容易看出被除数中有几倍除数，就可以直接求得试商，而不必用“首位加1”的方法估商。例如，750÷25 可直接估商3。
如果除数首位数为9，则无论除数的第2 位是否大于或等于5(例如，740÷95 首次估商为7)，一般都估商为被除数的首位数字；如果被除数首位数与除数首位数相同，一般估商为9。
3. 置商
置商时，要按照“数大隔位商，数小挨位商”的原则处理。
4. 减积档次
试商与除数的第几位相乘，积的十位数就从试商的右边的第几档减去，在其右一档减去积的个位数。为了避免在运算过程中出现计算一位乘积找一次对应减积档影响速度的做法，可以参考减积规律：上次减积的个位档，就是本次减积的十位档，本次减积的个位档，又是下次减积的十位档；手指始终停留在每次减积的个位档上，依次递位迭减。这样运算，既快又不容易减错档次。
5. 运算结果
多位数除法的运算结果处理与一位数除法相同。
例3-41 444.6÷7.8=57
(1)用固定个位法的置数公式D=A-(B+1)= 3 位-(1+1)位=+1 位，确定被除数从+1 位开始入盘，如图3-87 所示。
图3-87
(2)用“首位加1”法，把除数首位数当作8(7)，与被除数头两位比较估商5。“数小挨位商”，把试商5 拨在被除数首位的左一档上，如图3-88 所示。
图3-88
(3)从试商右一档起，递位迭减试商5 与除数78 的乘积，如图3-89 所示。
图3-89
(4)将余数看作新的被除数，把除数与被除数头两位比较估商7。“数小挨位商”，把试商7 拨在被除数首位的左一档上，如图3-90 所示。(www.xing528.com)
图3-90
(5)从试商右一档起，递位迭减试商7 与78 的乘积，正好除尽，商数为57，如图3-91所示。
图3-91
例3-42 897.64÷6.4=140.26(保留两位小数)
(1)用固定个位法的置数公式D=A-(B+1)= 3 位-(1+1)位=+1 位，确定被除数从+1 位开始入盘，如图3-92 所示。
图3-92
(2)被除数首位8，除以除数首位6，心算试商为1。“数大隔位商”，把试商1 拨到被除数首位8 的左二档上，如图3-93 所示。
图3-93
(3)从试商的右二档起递位迭减试商1 与除数64 相乘的积，如图3-94 所示。
图3-94
(4)心算估商4。“数小挨位商”，把试商4 拨在余数首位的左一档上，如图3-95所示。
图3-95
(5)从试商的右一档起，递位迭减试商4 与除数64 的乘积，如图3-96 所示。
图3-96
(6)心算估商2。“数小挨位商”，把试商2 拨在余数首位的左一档上，如图3-97 所示。
图3-97
(7)从试商右一档起，递位迭减试商2 与除数64 的乘积，如图3-98 所示。
图3-98
(8)心算估商5。“数小挨位商”，将试商5 拨在余数首位的左一档上，如图3-99 所示。
图3-99
(9)从试商右一档起，递位迭减试商5 与除数64 的乘积。余数首位在商的右二档，应看作40＞64/2。“五入进1”，按固定个位法已确定的正一位档即为商的个位，故商数为140.26，如图3-100 所示。
图3-100
(三)补商和退商
在估商过程中，试商可能偏小或偏大，这就需要通过采用补商或退商的方法对试商进行调整，即商偏小须补商，商偏大则退商。
1. 补商
在多位数除法运算过程中，试商减积后，发现余数仍大于或等于除数时，说明估商偏小，应及时调整，补拨商数，即补商，不必重新运算。补商的方法为：在试商上加1，同时隔位减1 倍除数；试商加几，就隔位减几倍除数。
例3-43 205.2÷38=5.4
(1)把被除数拨入算盘，心算估商5。“数小挨位商”，把试商5 置在被除数首位的左一档上，如图3-101 所示。
图3-101
(2)从试商右一档起，减去试商5 与除数38 的乘积，如图3-102 所示。
图3-102
(3)心算估商3。“数小挨位商”，把试商3 拨置在余数首位的左一档上，如图3-103 所示。
图3-103
(4)从试商右一档起，减去试商3 与除数38 的乘积。乘减后，余数尚有38，还够商1，如图3-104 所示。
图3-104
(5)补商1。“数大隔位商”，在原有的商数上加1，如图3-105 所示。
图3-105
(6)从试商的右二档起，减去1 倍除数38，得商数5.4，如图3-106 所示。
图3-106
2. 退商
在商除法运算过程中，心算估商不仅可能偏小，有时也可能偏大，即出现试商与除数的乘积不能完成“除去”这一步(被除数不够减)的情况。这时也可以不重新计算，而以退商的方法来调整试商。退商的方法为：从试商上减去1，隔位加还已经除过的那几位除数，然后再用调整后的试商，去乘尚未乘减的那几位除数，并将其积从被除数的相应档位中减去。
例3-44 205.91÷34.9=5.9
(1)把被除数拨入盘中，看数估商，试商得6。“数小挨位商”，把试商6 拨到被除数首位左一档上，如图3-107 所示。
图3-107
(2)从试商右一档起减去试商6 与除数349 相乘的积。减到6×9 时不够减，须退商，如图3-108 所示。
图3-108
(3)从原试商上减1，隔位加还除过数34(即除数第3 位9 前面的两位数)，如图3-109 所示。
图3-109
(4)从试商右三档起，减去调整后的试商5 与除数第3 位9 的乘积45，余数3 141，如图3-110 所示。
图3-110
(5)除数首位3 与余数首位3 相等，试商9。“数小挨位商”，把试商9 拨到余数首位的左一档上，如图3-111 所示。
图3-111
(6)从试商右一档起递位迭减试商9 与除数349 的乘积，正好除尽，得商数为5.9，如图3-112 所示。
图3-112
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