多项式拟合的理论与方法简介

理论上分析，可以利用计量手段直接拟合出价格竞争对网络营销各影响因素的作用关系曲线，从而得到价格竞争对各个影响因素对综合绩效的敏感度曲线，以下利用单因素最小二乘法进行多项式拟合，直接拟合出价格竞争对网络营销绩效各影响因素的作用曲线关系。

8.4.3.1 多项式拟合的基本理论

简单地讲，多项式拟合是使用一条数学定义上的连续曲线来描绘和表征坐标系中的各个散点之间的内在函数关系。对于三维（高维）空间，也可以用多项式拟合的方法来描述散点之间的函数关系。由于实际情况中的三个点往往是调查或观测实验所得到的，因此这些点本身就处在一种离散状态，它们之间原本就不存在太强的内在规律性，这种情况下借助于多项式拟合，可以较好地用一个近似函数来表达这种内在规律性[胡德，2015]。为了便于进行本文的实证研究分析，这里采用单因素最小二乘法进行曲线拟合。

8.4.3.2　多项式拟合的工作原理

假设函数P（x）以及数据点xi，yi，在函数类φ中，求p（x）=φ，使误差ri=p（xi）-yi（i=0，1，…，m）的平方和得到最小值，如式8-1所示[吴刚，2007]。

从数学意义上来说，y=p（x）表示与定点（xi，yi）（i=0，1，2，…，m）平方和最小点之间的函数集合，p（x）表示拟合函数（最小二乘法）的具体求解结果，求解p（x）。本文采用单因素最小二乘法。

8.4.3.3　基于最小二乘法的多项式拟合的数学过程

设有数据点（xi，yi）（i=0，1，2，…，m），φ表示所有由计算次数小于n（n≤m）的多项式函数类，求解方程，可以得到式8-2[胡德，2015]。

曲线拟合函数为多项式时，即为多项式曲线拟合，多项式曲线拟合满足式8-2，其中pn（x）就是最小二乘曲线拟合多项式。特殊情况下，当n=1时就是线性关系，即线性拟合或直线拟合。显然可以得到式8-3[胡德，2015]。

a0，a1，…，an的为多元函数时，上述问题就转换成求解I=I（a0，a1，…，an）的极值问题。根据多元函数极值取得的必要性要求，可以得到式8-4和式8-5[胡德，2015]。

式8-4是关于a0，a1，…，an的线性方程组，用矩阵表示为式8-6[胡德，2015]。(www.xing528.com)

式8-5和式8-6在数学上被称为正规方程组。

能够证明，式8-6的系数所构成的矩阵是一个对称正定矩阵，因此它们的系数有唯一解。因此根据式8-6可以求解得到ak（k=0，1，…，n），从而可得到式8-7。

可以证明，式8-6中的pn（x）满足式8-7，即pn（x）为所求的拟合多项式。可以将式理解为最小二乘法曲线拟合多项式pn（x）的误差项数，如式8-8所示[吴刚，2007]。

由式8-6可得式8-9。

多项式曲线拟合主要包括以下基本步骤：

（1）根据已知数据点画出粗略的函数分布图形（既函数散点图），据此初步确定多项式拟合方程的幂次数n[吴刚，2007]；

（2）分别列表求解

（3）求解得到正规方程组，据此求借得到a0，a1，…，an；

（4）得到拟合多项式方程，表示为

在多项式拟合的实际操作中，有n＜m或n≤m成立；而n=m时，求解得到的拟合多项式方程为拉格朗日方程。