因子分析法：简介与应用

因子分析是研究从变量群中提取共性因子的统计技术，它的概念最早由20世纪初英国心理学家提出并作为测智力所用的统计工具。目前被广泛应用于心理学、气象学、地理学、社会学、经济学等领域。因子分析是主成分分析的发展，属于多元分析中处理降维的一种方法，其精髓就是将相关性比较高的几个指标浓缩为一个公因子，这些公因子综合了几个指标附带的信息，且两公因子彼此之间是信息独立的。其数学模型如下：

设有p个可观察的经过标准化处理的随机原始向量z1，z2，z3，…，zp，其标准差为1。f1，f2，f3，…，fs（s＜p）是原始向量z1，z2，z3，…，zp提取的不可观测的公因子。ε1，ε2，ε3，…，εp称作误差或特殊因子，它用来解释原始变量无法被公共因子说明的信息，各个特殊因子之间以及特殊因子与所有的公共因子之间都是相互独立的。式（3-4）是因子分析模型。

即为Z=AF+ε，其中A＝（aij）m×s为因子载荷矩阵。因子分析中要理解以下几个概念的意义。

（1）因子载荷：aij是第i个变量与第j个公共因子的相关性系数。它的绝对值越大，变量ix与公共因子jf的相关度则越高。

（2）变量共同度：叫做变量共同度，又叫共性方差，表示的公共因子对变量xi的影响程度，即公共因子对变量xi的方差贡献率，其值越大，表明公共因子包含的变量信息就丰富，信息遗漏就越少。

（3）公共因子的方差贡献：，称其为第j个公共因子对所有原始变量的方差贡献，也是越大越好，是反应公共因子相对重要性的指标。

1.BP神经网络算法简介

BP神经网络是一种前馈网络，又称为误差反响传播神经网络（Back Propagation Neural Network），是训练人工人神经网络的基本方法，由Rmenlhart等设计的基于误差反向传递算法的一种多层前馈型神经网络。实质是求解误差函数的最小值问题，由输入输出层、网络拓扑结构、连接权值的大小和阈值所决定。具有良好的自学习、自联想和较好的容错性等功能，是目前最为广泛应用的人工神经网络评价模型，被广泛应用于非线性建模、函数逼近以及模式分类等方面。最常用的三层BP神经网络能够以任意精度来表示任何连续函数，三层BP网络的拓扑结构如图3-6所示。

图3-6　三层BP网络拓扑结构图

BP神经网络的结构如下：输入层包含m个神经元，隐含层包括n个神经元，输出层包括k个神经元，其中输入向量表示为x=（x1，x2，x3，···，xm），隐含层的输入向量表示为，输出向量表示为，输出层的输出向量表示为，期望输出向量为ro=（ro1，ro2，ro3，···，rok），wip是隐含层和输入层之间的连接权值，wpo是与输出层之间的连接权值。隐含层和输出层各个神经元的阈值可分别表示为ap和ao。样本数量为q=1，2，3，···，b，误差函数可以表示为。神经网络训练过程中常用的激励函数包括以下几种：

（1）阈值函数：

（2）分段线性函数：

（3）对数函数：

（4）正切函数：

具体的BP神经网络学习过程如下：

（1）将网络初始化，设置误差函数e的精度和学习次数，并给每个连接权值赋予（-1，1）之间的数值。

（2）选择第i个输入样本和期望输出值：(www.xing528.com)

（3）将隐含层各个神经元的输入和输出计算出来：

（4）根据期望的和实际的输出值，将误差函数对输出层各神经元的偏导δo（q）计算出来：

（5）根据已有的连接权值、δo（q）和隐含层的输出，把误差函数对隐含层各个神经元的偏导数δp（q）计算出来：

（6）根据δo（q）的值和隐含层神经元输出，修正连接值wpo（q）：

（7）根据δo（q）的值和输入层神经元输入，修正连接权：

（8）算出总体误差：

检查得出的总体误差是否满足设定的要求，达到要求时，计算结束，否则选择另外的学习样本和期望输入，重新回到第三个步骤，开始新一轮的学习。整体的学习流程如图3-7所示：

图3-7　BP神经网络学习算法流程图

2.因子分析与BP神经网络算法相结合的研究分析

在现有的关于企业的能力评价中，定量方法主要有层次分析法，模糊综合评价法以及数据包络分析法等，这些方法具有一定的可行性和可推广性，但利用这些方法进行评价需要专家进行打分来确定权重。导致评价结果有一定程度的主观色彩，无法动态迎合企业评价的要求。神经网络评价则很好的弥补了这一缺点，并且其利用非线性映射的思想在解决非线性和含有噪声的数据时有很大优势，但缺点是当训练的数据规模较大时会使训练时间变长同时解释力下降，而因子分析可以将多指标中的高相关度变量提取公因子，达到降维和缩减数据规模的目的，从而为BP神经网络的训练打好基础。目前因子分析与BP神经网络相结合以浓缩指标的方法也在不同领域的研究中得以应用，具体研究可见表3-9。

表3-9　因子分析与BP神经网络结合运用的研究文献