短期和长期成本函数分析

1．短期成本和长期成本函数含义。

在短期中，投入的要素分为不变要素和可变要素。购买不变要素的费用支出就是固定成本FC，它不随产量变动而变动，因而是个常数，即使企业停产，也要照样支付。包括借入资金的利息，租用厂房或设备的租金，固定资产折旧费，停工期间无法解雇的雇员（如总经理、总工程师、总会计师等）的薪金及保险费等。购买可变要素的费用支出就是可变成本VC，它随产量变动而变动，是产量的函数。包括可随时解雇的工人的工资，原材料和燃料的费用，水电费和维修费等。变动成本加固定成本等于总成本TC，可用公式表示为：

TC＝VC＋FC

或：

式中φ（Q）为可变的成本VC，是产量的函数，b为固定成本FC，是一常数。

为较精确说明上述三种成本之间的关系，我们举一个假设的例子。假定有一成本函数为：

TC＝Q3－12Q2＋60Q＋40

在这个成本函数中，VC＝Q3－12Q2＋60Q，FC＝40，产量Q变化时，VC、FC、TC将有表4-3中列（1）、列（2）、列（3）的关系。

表4-3 一个假设的短期成本

根据表4-3，我们可作成本曲线图如图4-4。

图4-4 成本曲线

图4-4（a）中三条曲线分别为固定成本曲线、可变成本曲线和总成本曲线。固定成本曲线FC是一条水平线，表明固定成本是一个既定的数量（图上为40），它不随产量的增减而改变。

可变成本VC是产量的函数，它从原点出发，表明产量为零时，可变成本为零，随着产量的增加，可变成本也相应增加。可变成本曲线形状主要决定于投入要素的边际生产率。从原点到产量为4的区间，投入可变要素的边际生产率递增，因此，可变成本VC虽增加但渐趋缓慢。产量超过4以后，可变投入要素的边际生产率递减，因此，可变成本增加渐趋加快。

总成本TC是固定成本与可变成本之和，其形状与可变成本曲线一样，它只不过是可变成本曲线向上平行移动一段相当于FC大小的距离，即总成本曲线与可变成本曲线在任一产量上的垂直距离等于固定成本FC。

上述FC、VC、TC分别除以产量Q就得到平均固定成本、平均可变成本和平均成本。还可以从总成本或可变成本中推导出边际成本。这些成本也可在表4-3中第（4）（5）（6）（7）和（8）列以及图4-4（b）中得到反映，下面分别予以说明。

平均固定成本（AFC）是每单位产品上分摊的固定成本，等于固定成本除以产量所得之商。

AFC曲线［见图4-4（b）］是一条等轴双曲线，每一端无限趋近于纵轴或横轴。随着产量的增加，AFC逐渐变小，即产量越大，分摊到单位产品上的固定成本越少。

平均可变成本（AVC）是每单位产品上分摊的可变成本，它等于可变成本除以产量所得之商。

AVC曲线［见图4-4（b）］是从图4-4（a）中的VC曲线推导出来的。VC上任一点与原点的连线的斜率即该产量水平上的平均可变成本。AVC曲线形状为U形，表明平均可变成本随产量增加先递减后递增，其成U形的原因也是可变投入要素的边际生产率先递增后递减。在图中，AVC曲线的最低点与产量为6的水平相对应。从图4-4（a）中可以看出，与产量6对应的点C与原点的连线是整条VC曲线上斜率最小的一条连线。

平均成本（AC）是每单位产品的成本，它等于总成本TC除以产量所得之商，也等于平均固定成本与平均可变成本之和。

AC曲线见图4-4（b），它也是一条二次曲线，从图4-4（a）中的TC曲线推导出。TC上任一点与原点之连线的斜率即为该产量水平的平均成本。AC曲线形状的决定因素与AVC相同。AC曲线的位置在AVC曲线之上，两条曲线之间的垂直距离即为平均固定成本AFC。由于AFC随产量增大而递减，因此，AC曲线与AVC曲线的垂直距离也随产量增大而渐趋缩小。AC曲线的最低点与AVC曲线最低点不在同一条垂直线上，前者对应的产量在6和7之间的某一水平，后者对应的产量为6，这是因为AC＝AVC＋AFC，AFC是单调递减的，AVC从最低点转而上升，当其增量少于AFC的减少量时，AC仍呈下降之势，只有当产量等于6和7之间的某一水平时，AVC的增量正好等于AFC的减少量，这时AC才达到最低点。

边际成本（MC）是每增加1单位产量所增加的总成本，边际成本是总成本对产量的导数或总成本曲线的斜率。(www.xing528.com)

从上式可见，虽然总成本为可变成本与固定成本之和，但边际成本只和可变成本有关。这是因为，在产量增加时，固定成本不变，只有可变成本才随产量变化。用数学语言说，固定成本是常数，在求导数时为零。边际成本曲线见图4-4（b），它从图4-4（a）中的TC曲线推导出。每一产量的MC都是同一产量水平上TC曲线的斜率，MC曲线也是U形，其递减部分对应可变投入要素的边际产量递增阶段。与MC曲线最低点相对应的产量为4，这一最低点也是TC曲线上的拐点A。拐点在数学上的含义是二阶导数为零的一点，它是曲线斜率递减和递增的分界点，在拐点的左侧，TC曲线斜率递减，与之对应的MC曲线下降，在拐点的右侧，情况正好相反，于是拐点正好对应MC曲线的极小值点。

MC曲线和AVC曲线、AC曲线都是U形的，造成这种形状的原因都是由于可变投入要素的边际收益率递增或递减。但三种成本的经济含义和几何含义不同，MC曲线反映的是TC曲线上每一点的斜率，而AVC曲线和AC曲线则是VC曲线和TC曲线上任一点与原点连线的斜率。所以，MC曲线比AVC曲线和AC曲线更早到达最低点，MC曲线与AVC曲线和AC曲线的交点分别在后两者的最低点上。我们可以打一个比方来说明MC曲线和AC曲线的关系。平均成本AC好比是某排球队队员的平均身高，边际成本MC好比是新加入球队的队员的身高，若新队员身高低于球队的平均身高，即AC曲线在MC曲线之上，会使平均身高下降；若新队员的身高超过球队的平均身高，即MC曲线位于AC曲线之上，则会使平均身高上升；若新队员的身高正好等于球队的平均身高，则球队的平均身高不变。

对于这一点，也可用数学方法证明如下：

在AC曲线的极值点上，必有一阶导数AC′＝0

亦即：

所以有：

MC＝AC

由此可知，在AC曲线的极小值点上，MC＝AC。

既然MC曲线与AC曲线的交点在AC曲线的最低点上，那么十分明显，MC曲线与AVC曲线的交点也必定位于AVC曲线的最低点上。

2．短期和长期的不同决策。

短期和长期的不同含义已说过多次，现在要说明的是在“短期”和在“长期”，厂商所作的决策是完全不同的。在短期，厂商必须在既定的生产规模下，即资本要素的数量和质量不变的前提下作出决策，这种决策是确定可变要素的投入数量或要素的组合比例，以获得每单位产品的最低的平均成本，我们称之为寻求最优产出率的问题。而在长期，厂商在所有生产要素的数量和质量都是可变的条件下，他所要作的决策是寻找一个最佳的生产规模来生产事先计划的产量，在短期中确定的东西在这里是不确定的，但一旦厂商选择了一个特定的生产规模，其产量决策马上又转化成短期的决策。因此，厂商的经营决策在短期，而战略规划在长期，长期计划的执行决定了该厂商未来特定的短期中运行的状况。

在长期，由于厂商的生产规模可以任意选择，因而不存在固定的生产要素和固定的生产成本，也没有长期固定成本曲线，长期成本包括长期的生产总成本LTC，和依据长期总成本推出的长期平均成本LAC及长期边际成本LMC。

为了弄明白什么是长期成本函数，可以举一简单的例子。假设某企业在不同产量水平时有如表4-4中两套生产方案。A、B两方案分别是低和高固定成本设备情况下的产量和成本。

表4-4 不同固定成本情况下的平均成本变化

表中数据尽管是假设的，但是有一定道理。方案A是低固定成本的设备情况。也许是设备数量少，也许是设备较落后，因此，产量因需求增加时必须靠多使用可变要素（如工人）。由于要素边际产量递减，可变成本增加会较快（因为要靠多使用可变要素来增产），从而使平均成本也较快地从下降转到上升。方案B是高固定成本设备情况，每单位产量所需要使用的可变成本要素量比方案A少，从而平均成本随产量增加时从下降转到上升较慢。从表中看，在产量为3时用方案A和方案B的平均成本一样，但是超过3单位时显然应当用方案B，不足3单位时应当用方案A。因此，企业在做长期规划时要根据对未来市场需求的预测科学地决定其生产规模。这种情况可用A、B两方案中的平均成本曲线清楚显示（图4-5）。

图4-5 不同固定成本情况下的平均成本曲线

在图4-6中，LAC曲线为L形的，产量达到Q1之前，存在规模报酬递增，产量达到Q1之后，不论产量增加多少，规模报酬不变，LAC曲线成为水平，产量Q1之后，都是最佳工厂规模。

图4-6 L形LAC曲线

图4-7 锅底形LAC曲线

在图4-7中，LAC曲线为锅底形的。在产量达到Q1之前，存在规模报酬递增，在产量Q1至Q2之间，一直是规模报酬不变，而当产量超过Q2后，又变为规模报酬递减，所以LAC曲线反翘。在Q1至Q2之间，每一产量水平都可实现最佳工厂规模。