序数效用论和无差异曲线：梨和苹果的消费组合分析

前面介绍了一些经济学家如何以基数效用论来考察消费者均衡。在那里，效用是可以用具体数字进行计量和比较的。另一些经济学家认为，效用无法用具体数字表示，只能有大小次序的区别，就是说，效用大小可表示为序数，无法表示为基数。这样，就有了序数效用论。在分析商品效用时，无需确定其具体数字或商品效用是多少，只需用第一、第二、第三等序数来说明各种商品效用谁大谁小或相等就足够了，并由此作为消费者选择商品的根据。

序数效用可以通过无差异曲线进行分析比较。何谓无差异曲线？在现实生活中，消费者在消费两种可相互替代的商品X和Y时，他可以多消费一点X而少消费一点Y，或少消费一点X而多消费一点Y，但他得到的效用不变。例如在对猪肉和牛肉、苹果和梨、咖啡和牛奶等替代商品进行消费时，都可能出现这种情况。

现在我们假定消费者消费苹果和梨，若梨的价格因某种原因上升而苹果的价格不变甚至下降时，该消费者如果本来消费10单位的梨和1单位的苹果，现在也许会多买些苹果而少买些梨，但仍可得到同样程度的满足。假定苹果和梨有如表3-3所示的不同的组合。

表3-3 梨和苹果的不同组合 （单位：公斤）

图3-2 无差异曲线

表3-3给出了梨和苹果两种商品有A、B、C、D等四种数量不同的组合，但是它们所提供的效用水平是相等的，或者说是无差异的。我们把表中所反映的内容在一坐标图上表现出来，即可得到一条无差异曲线。用横轴表示苹果的数量，用纵轴表示梨的数量，每一组合均由图上的一点（如A、B、C、D）表示，连接各点的连线就是无差异曲线，如图3-2所示。

可见，无差异曲线是表示能给消费者带来同等效用的两种商品的不同组合的曲线。

在现实生活中，消费者对两种可替代物品的需求水平可能是多种多样的。比如，当他的总收入水平提高时，他的消费量包括梨和苹果都可能增加，并且同比例地增加。这样，就可以在同一坐标图上画出另一条高于原来水平的无差异曲线。假定收入增加的程度是无限可分的，那么，无差异曲线就可以画出无数条。经济学家把这种由无数条无差异曲线组成的坐标图，称为无差异曲线图或无差异曲线群。在同一无差异曲线图中，离原点越远的无差异曲线代表的总效用水平越高，因为它所代表的物品数量X和Y越多。

无差异曲线有以下特点：

第一，无差异曲线是一条自左上向右下方倾斜并凸向原点的曲线^[1]。无差异曲线之所以如此，是因为边际替代率递减。边际替代率是指为了保持同等的效用水平，消费者要增加1单位X物品就必须放弃一定数量的Y物品，这二者之比率，即X对Y的边际替代率＝。如果用MRSXY代表X对Y的边际替代率，则，这里ΔY前面加一负号表示X增加时Y必须减少，二者变动方向相反。

那么，增加1单位X而相应地减少的Y的数量是如何确定的呢？由于无差异曲线存在的前提是总效用不变，因此，X增加所增加的效用必须等于Y减少所减少的效用，否则总效用就会改变。如图3-2中，从C到D的组合变动表示苹果增加1单位，梨减少1．5单位，这就说明1．5单位梨的效用正好等于1单位苹果的效用，一增一减，互相抵消，总效用才不变，可用数学公式表示为：ΔX·MUX＝－ΔY·MUY，或者。因此，边际替代率也可以表示成两种物品边际效用的比率，用公式表示是：

边际替代率，实际上也是无差异曲线的斜率。令X的增加量趋于零，即ΔX→0，则ΔY亦相应趋于一个无限小的值，于是ΔY／ΔX趋近一个极限值，即，而这个导数值正是无差异曲线任一点上的斜率的绝对值。因此，求无差异曲线上任一点的边际替代率，只要过该点作切线，这条切线的斜率的绝对值就是该点的边际替代率。上述关系归结起来就是：

第二，同一无差异曲线图上任何两条无差异曲线不可能相交。假设两条无差异曲线相交，那么交点同时在两条无差异曲线上。由于不同的无差异曲线表示不同的满足程度，这就意味着交点所代表的同一个商品组合对于具有一定偏好的同一个消费者来说有不同的满足程度，这显然是不可能的。因此，无差异曲线不可能相交。

上面只是抽象地说明，消费者对于两种物品可能有各种选择。但在现实生活中，对某一消费者来说，在一定时期内的收入水平和他所面对的两种物品的价格都是一定的，他不可能超越这一现实而任意提高自己的消费水平，也就是说，他的购买受到收入和价格的制约。

假定某个消费者每周的收入是60美元，他需要购买X和Y两种商品，商品X的价格为15美元，商品Y的价格为10美元。如果消费者用其全部收入购买商品X，可得4单位的X，如用全部收入购买商品Y，可得6单位的Y，分别对应图3-3中B、A两点。我们将A、B两点连接成线，便可得到预算线AB。

图3-3 预算线

这条预算线表示在消费者收入和商品价格为一定的条件下，消费者所能购买的不同商品之组合。如以M表示消费者的货币收入，如全部用来购买Y，则M＝PY·Y，如全部用来购买X，则M＝PX·X。显然，PX·X＝PY·Y，即单独购买商品X或单独购买商品Y都花掉了消费者的全部收入。如果买一些X，又买一些Y，则所花的钱也不能超过M，即X·PX＋Y·PY＝M，或

式中，是图3-3中AB线的截距，是AB线的斜率绝对值，AB线向右下倾斜，故前面有负号。(www.xing528.com)

预算线是在收入和价格为一定的条件下的消费可能性曲线，如果收入或价格变了，预算线将发生变动。

假定商品的价格不变，但消费者的收入增加或减少了，则预算线将向外或向内平行移动，见图3-4。如果消费者收入和商品Y的价格不变，商品X的价格降低了，则有图3-5，AB线变成AB′、AB″；同样，若消费者收入和商品X的价格不变，商品Y的价格降低了，则预算线将绕点B作顺时针方向转动。

图3-4 收入的变化

图3-5 商品X价格降低

由此可以得到下述结论：假如其他条件不变，商品X价格下降将导致预算线绕着它与纵轴的交点向外转动；反之则向内转动。同理，假如其他条件不变，商品Y价格下降将导致预算线绕着它与横轴的交点向右转动，反之则向左转动。

以上讲的预算线只是指消费只受货币收入和商品价格限制。实际上，消费除了花钱，还要花时间，因此，时间也会构成人们消费的一种约束。有人不是没有钱消费，而是没有那么多时间消费。例如，假定某人仅消费X和Y两种商品，PX＝PY＝2元，他仅有10元收入。若仅考虑收入和价格，他就可以在5单位X和5单位Y之间选择。若再假定他消费1单位X要花2小时，消费1单位Y要花4小时，同时假定他每天至少要睡觉8小时，则至多只有16小时可用来消费，那么他事实上只能在8单位X和4单位Y之间来加以选择。把收入、价格和时间都考虑进来的话，他事实上只能在5单位X和4单位Y之间加以选择。受到收入和时间双重约束的这条预算线的图形如图3-6。

图3-6 双重约束的预算线

消费者约束可能还会有其他一些因素，如性别、年龄、地位甚至宗教信仰等因素约束，以及可以购买到的商品的约束。例如，某消费者想购买某种质量或者某种品牌的商品，可是市场上没有供应，于是他的消费就受到了约束。又如，某人很希望也有经济能力到国外某地旅游一下，可是身体健康状况或者年龄较大不允许他这样行动，也成为他的消费约束。总之，一切会限制消费的因素都可能构成消费者约束，但通常说来，其中最重要的还是预算约束。

以上讨论了无差异曲线和双重预算线，现在我们暂撇开时间约束，将两者结合起来，研究消费者如何使有限的收入取得最大的效用或者达到最大限度的满足，即消费者均衡问题。

图3-7 最大效用原则

消费者收入和商品价格既定，表示消费者的一条预算线被确定。同时，若消费者偏好一定，表示消费者的无差异曲线图也为一定。如果把消费者的预算线置于无差异曲线图里，它与无差异曲线的关系将有以下三种情况，见图3-7。

第一，预算线AB与无差异曲线I0相交于M、N两点。这两点虽代表着消费者一定的满足程度，但它们并没有达到消费者支出允许的范围内所获取的最大效用水平，因M、N点移动到点E，可以在新的、更高的满足水平上进行消费，也即在I1效用水平进行消费。

第二，预算线AB与无差异曲线I2既不相交，也不相切，虽然此时有较高的满足水平的存在，但对消费者来说，已经超越其财力的许可。

第三，预算线AB与无差异曲线I1相切于点E。点E同时在预算线AB及无差异曲线I1上，意味着它所代表的商品组合是消费者用现有的收入可以买到的，同时能给消费者带来最高水平的满足。显然，只要点E沿着预算线偏离原来的位置，它所代表的满足程度都将低于I1水平。因此，切点E是在收入为一定的条件下给消费者带来最大效用的商品组合（X1，Y1），此时预算线的斜率等于无差异曲线在该点切线的斜率。

根据我们前面对无差异曲线特点的介绍，，因此预算线斜率与无差异曲线斜率的绝对值相等意味着：

可见，序数效用分析结论与基数效用分析结论是一致的。