如何估算形状参数k？

（一）k的估计方法

基于不同的微观理论基础，可以得到形状参数的不同估计方法。在企业生产率服从无上界帕累托分布的假设下，如果效用函数为CES，则形状参数和替代弹性关系为k＝σ－1，在这种情况下，可以通过估计替代弹性得到形状参数（Arkolakis et al.，2012）。然而，由于本文的需求结构并非CES情形，因此不能借助形状参数和替代弹性的关系进行求解。本文借助帕累托分布自身的性质^[8]，对形状参数进行估计。

企业生产率的中位数和均值分别为：

很明显，该式子同时涵盖了无上界和有上界帕累托分布。当φmax＜∞时，对应有上界帕累托分布；当φmax＝∞时，对应无上界帕累托分布。而且，当企业生产率服从无上界帕累托分布时，企业生产率的中位数和均值分别退化为^[9]：

因此，只需知道企业生产率的中位数、均值、最大值和最小值，通过Matlab求解方程即可分别得到生产率服从无上界和有上界帕累托分布情形下k的数值。

（二）中国制造业企业生产率的估计：OP方法(www.xing528.com)

计算企业全要素生产率的方法有多种，包括传统的索洛余值法，到后来的随机前沿方法和数据包络法，这些方法在不同程度上存在各种不足。OP（Olley和Pakes，1996）方法作为一种半参数估计方法，有效地解决了生产率与投入要素相关导致的联立性（simultaneity）问题以及生产率与退出相关导致的样本选择（selection）问题。基于此，选择OP方法来估算企业全要素生产率。

（三）估计结果

根据2000—2007年中国工业企业数据库微观层面的数据，采用OP方法估计中国企业生产率。结果显示，当企业生产率服从无上界帕累托分布时，形状参数k的大小为7.68。理论上讲，不同国家企业生产率分布的形状参数理应不同。然而，由于数据所限，很难估计得到每个国家各自的形状参数。已有国内外文献通常假设各个国家企业生产率具有相同的形状参数，即认为其他国家的形状参数和中国的等同（樊海潮和张丽娜，2018；Hsieh和Ossa，2016）。毫无疑问，这种做法存在较大误差。本文试图将经济体划归两类，假设两类国家有不同的形状参数。

由于帕累托分布形状参数的特定性质，即随着形状参数降低，一个经济体企业生产率离散度增加，同时平均生产率上升。一般来说，各个国家平均生产率与人均GDP成正比。因此，我们认为一个经济体的形状参数大小与其人均GDP成反比。世界银行在2014年公布的高收入国家的标准为人均GDP超过41597.33美元，WIOD中的澳大利亚、奥地利、比利时、加拿大、瑞士、德国、丹麦、芬兰、法国、英国、卢森堡、荷兰、挪威、瑞典和美国共15个国家的人均GDP超过这一标准，而其余国家则低于此标准。由于Caliendo和Parro（2015）估计得到美国企业生产率分布的形状参数为4.55。接下来，假定这15个国家的形状参数与美国相同，都是4.55，而其余国家的形状参数与中国相同，均为7.68。