数学奇才：探秘古代数学理论体系与圆周率精确定值

数学奇才

魏晋南北朝时期出了两位数学奇才，一位是曹魏时期的刘徽（生于公元240年左右），另一位是南朝宋、齐时的祖冲之（429～500）。

刘徽是山东临淄人，一生都没有做官。出于对数学的热爱，刘徽潜心钻研学术，在数学理论方面造诣很高。他的主要代表作有《九章算术注》、《重差》（到唐代改名为《海岛算经》）以及《九章重差图》等。可惜的是，《海岛算经》和《九章重差图》到宋代已经失传，人们只能从唯一传世的《九章算术注》中，窥见其学术思想之一斑。

刘徽在数学方面取得的最大成就，是建立了中国古代数学理论体系。在数系理论方面，他阐述了通分、约分、四则运算、繁分数化简等运算法则。在开方方面，他论述了无理方根的存在，并引进了新数，创造了用十进分数无限逼近无理根的方法。在筹式演算理论方面，他先给率以比较明确的定义，又以遍乘、通约、齐同等三种基本运算为基础，建立了数与式运算的统一的理论基础。并用“率”定义中国古代数学中的“方程”，也就是现代数学中线性方程组的增广矩阵。在勾股理论方面，他论证了勾股定理与解勾股形的计算原理，建立了相似勾股形理论，发展了勾股测量术，通过对“勾中容横”与“股中容直”之类的典型图形的论析，形成了中国特色的相似理论。在面积与体积理论方面，他用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术”的极限方法提出了刘徽原理，并解决了多种几何形、几何体的面积、体积计算问题。

刘徽在总结前人的基础上，又有所创见，最为突出的成就是得出了圆周率的计算方法。所谓圆周率是指平面上圆的周长与直径之比，用符号π表示。从先秦到汉代，人们一直沿用“径一周三”的传统观点，将圆周率取值为3。这一数据十分不精确，往往不能满足计算的需要。王莽时期，刘歆曾采用过3.1547的圆周率值，东汉张衡采用过3.1466，但都缺乏理论依据。刘徽通过精密的科学研究，得出了计算圆周率的科学方法和结论。他所运用的方法称为“割圆术”，即先将一个圆的圆周六等分，作出一个圆内接正六边形，这就叫做割圆。再用勾股法计算出这个六边形的周长，然后继续把圆进行等分，作成十二边形、二十四边形、四十八边形等，一直算到一百九十二边形，得出π=157／50=3.14，又算到3072边形，得出π=3927／1250=3.1416，从而得出了精确到四位小数的π值，这一圆周率值被后人称为“徽率”。刘徽所运用的初步极限概念和直曲转化思想，在当时非常先进，在中国数学史乃至世界数学史上都占有极其重要的地位。

在刘徽之后，南朝宋、齐间的祖冲之又把中国古代数学的发展推到了另一个高峰。祖冲之（429～500），字文远，祖籍范阳蓟县。西晋末年，为避战乱，祖家南迁。祖冲之出身官宦世家，曾祖父祖台之在东晋任侍中，祖父祖昌仕刘宋为大匠卿，父亲祖朔之曾任奉朝请。由于职业的缘故，祖家历代子孙对天文历法、数学、土木工程等都有所涉猎。祖冲之受家学影响，从小便接触了一些天文、数学知识，逐渐培养起了这方面的兴趣。(www.xing528.com)

祖冲之博学多才，进入仕途后，将自己的所学运用到工作实践中，取得了杰出的成就。祖冲之的主要成就集中在数学、天文历法和机械制造三个方面。

在机械制造方面，他曾制造过指南车。在天文历法方面取得的最大成就是他编制成了《大明历》。刘宋在此之前使用的历法，是宋文帝时期何承天编制的《元嘉历》。祖冲之经过多年的观测和推算，发现《元嘉历》有许多缺陷，鉴于此，祖冲之准备制定一部新的历法。至宋孝武帝大明六年（462），新法编制完成，以当时的年号定名为《大明历》。由于遭到权臣的反对，《大明历》在祖冲之生前始终没有被采用，直到梁武帝天监九年（510）才正式颁布施行。

祖冲之的数学功力很深，曾著《缀术》。这部书汇集了祖冲之的数学研究成果，内容深奥，被称为“算氏之最”。唐代还将《缀术》定为算学必修书目，但在宋以后失传。

祖冲之在数学方面的成就，是进一步得出了圆周率的精确数值。祖冲之在肯定刘徽所取得的成就的基础上，认为圆周率还有进一步精确的可能。他运用的计算方法是产生于春秋战国时期的“筹算法”。“筹算”是小竹棍，筹算法是通过横式和纵式摆放小竹棍来表示数字，从而进行加减乘除运算。祖冲之运用这种方法，也是从圆的内接正六边形开始，将边数成倍增加，每一次增加都要运算11次。除去加减法，还有两次乘方和两次开方。这种运算方法十分复杂，工作量相当大。经过精密推算，祖冲之进一步得出圆周率的值在3.1415926和3.1415927两个数值之间，将圆周率值精确到小数点后7位。同时，他还得出了两个近似分数值，即约率22／7和密率355／113，这在当时世界数学史上还是第一次。在祖冲之后的1000年间，全世界竟无一人能够超越祖冲之的结论。在西方，直到1573年才由德国人奥托得出了密率。此后，全世界的数学家都在孜孜不倦地探求圆周率的精确数值，并取得了可喜的进展。而这一切成绩的取得，刘徽与祖冲之功不可没。