博弈模型：不同乘客类型下的停止点决策

为了便于后面的建模和讨论，把模型中用到的参数根据出现的先后顺序做如下说明：

参数和变量说明

N：销售总阶段数，其中，N表示销售期开始阶段，0表示销售期结束，即飞机起飞时间。

Cj：航班j的容量，本章只考虑两个航空公司间的竞争，所以j=1，2。

ri：等级i机票价格，本章只考虑两级机票，所以i=1，2，其中，i=1代表高价票，i=2代表低价票。

v：乘客的心理价位，服从某一分布，其累积分布函数为F（v）。

αk：k类乘客的比例，且满足∑kαk=1，本章中，k=1，2，3。

λ：乘客的总到达率，乘客到达服从齐次泊松分布。

λk：k类乘客的到达率，且满足λk=αkλ。

RA（RB）：航班A或航班B的当前可售机票中的低价票价格。

β：当RA=RB时，弹性乘客购买航班A的概率，则购买航班B的概率为1-β。

：在第n阶段A（B）航班分别剩余的座位数。

：航班A（B）的j等级机票的需求率。

两航班需要决策的问题是：每一阶段开始时是否停止销售低价票，即确定停止销售低价票的最佳停止点。该停止点由剩余座位数和销售时间共同决定。

当低价票开放时，考虑高价票需求的降级购买，航班A中来自旅客类型1对低价票的需求率为λ1（Pr（r2≤v≤r1）+Pr（v≥r1）p12），对高价票的需求率为λ1Pr（v≥r1）（1-p12）。依据对类型3旅客价格高度敏感的假设，当低价票可得时，所有类型3的无论其原始心理价位高低，都会选择购买低价票。对航班A的低价票需求率为λ3Pr（v≥r2）I（RA＜RB）+βλ3Prv≥r2I（RA=RB）。所以航班A低价票的有效需求可由下式表示：

高价票需求为原始的高价票需求减去降级购买的需求，即

其中，I条件是一个指示函数，它满足以下条件：(www.xing528.com)

与之类似，对航班B的低价票和高价票的需求率，有下式成立：

令ΠAO（n，yA），ΠBO（n，yB）表示当低价票依旧开放在第n阶段航空公司A和航空公司B有yA和yB个座位剩余时的期望收益。假设每个旅客只购买一张机票，且不考虑取消和爽约，则有

令FA（n，yA），FB（n，yB）表示目前yA和yB个座位剩余时从第n阶段到飞机起飞间最大期望收益，则有下式成立：

且满足以下边界条件：

FA(0,yA)=0,FA(n,0)=0,FB(0,yB)=0,FB(n,0)=0

n=0,1,2,…,N,yA,yB=0,1,2,…,C

上式中，右边项第一项代表在第n阶段以低价票售出一张机票的期望总收益；第二项代表以高价票售出一张票的期望总收益；最后一项表示当前没有机票出售、该机票保留至下一阶段的期望总收益。

当低价票关闭后，系统只开放高价票。原始的低等级需求到达并会以概率p21升级购买高价票。所以，类型1中航班A的高价票需求率为

λ1Pr{r2/leqv≤r1}p21+Pr{v≥r1}

来自类型3的高价票需求率是βλ3I（RA=RB）（Pr{r2≤v≤r1}p21+Pr{v≥r1}）。航班B情况类似。则有下式成立：

ΠAC（n，yA），ΠBC（n，yB）表示当低价票关闭后在第n阶段航空公司A和航空公司B有yA和yB个座位剩余时的期望收益。则有下式成立：

令GA（n，yA），GB（n，yB）表示目前yA和yB个座位剩余时从第n阶段到飞机起飞间最大期望收益，则有下式成立：

且满足以下边界条件：

GA(0,yA)=0,GA(n,0)=0,GB(0,yB)=0,GB(n,0)=0

n=0,1,2,…,N,yA,yB=0,1,2,…,C

上式中，右边项第一项代表在第n阶段以高价票售出一张票的期望总收益；第二项表示当前没有机票出售，该机票保留至下一阶段的期望总收益。