乐透型彩票的历史和现状

乐透型彩票至少可以追溯到圣经时代。以色列是以抽签的方式被分给7个部落的。耶稣的圣袍则是给了中奖者，因而不必裁切。西斯廷教堂及其著名的壁画是靠发行乐透型彩票而筹集的。意大利的乐透型彩票从1530年开始发行。现在超过100个国家发行乐透型彩票。乐透彩跟随英国清教徒一起进入北美洲，它们部分被用于资助成立的新学校，比如，哈佛大学、普林斯顿大学及耶鲁大学。之后，它也被用于筹款及支付名人的债务，如为杰斐逊还债。19世纪末期的极端腐败导致乐透型彩票在美国及加拿大被禁止。1964年，它在新罕布什尔州再度现身。在加拿大，它被用来支付1967年蒙特利尔世界博览会的债务。从那时起，乐透型彩票在普及度及销售量上经历了爆炸性的增长。然而，由于其报酬率为1美元收益40～60美分，对于理性的投资人而言，乐透型彩票算是很差的投资方式。

即使报酬率如此之低，投资者在乐透型彩票中也有可能获得正的预期价值。之所以会发生这样的情况，是因为并非所有的号码受大众欢迎的程度都相等。首位正式研究这个模型的人是切尔诺夫（Chern off，1980）（他的学生做了验证）。他的研究对象是马萨诸塞州的数字博彩游戏。在这个游戏中，玩法是从0000到9999之中挑选一个号码。如果你的号码被抽中，你可分得总赌金中的一部分。如果有三位数相同，你将可得到次奖。切尔诺夫发现有些特定的号码是不受欢迎的：含有0和9的数字，程度较轻的是含有8的。他的理论分析表明，有些组合是有正的预期价值的，这导致他的一些学生会系统性地投注在“好”数字上。然而，那些学生并未获得很好的报酬。首先，因为不断学习再加上向均值的简单回归，冷门的数字随着时间的推移会变得比较不那么有利可图。其次，他们会使受害人坠入可怕的“赌徒的堕落”。那些学生没有足够的财力撑过获得大笔利润所需的时间。最后，他们的运气不够好，冷门数字比预期的更不常出现。

在北美洲最引人注目的博彩类型是49选6或是类似的博彩。这个博彩的玩法是从49个数字中挑选6个，如果全部选对，就可赢得累积赌注（jackpot）。选对3～5个数字可以得到较少数额的奖金。这种博彩中选到头彩组合的概率是1/13 983 816，如果你一周玩两次，你可以预期在134 360年后赢得头彩，即使对于理性的经济学家来说，这也是非常长的时间。

这一博彩有两个特点引起了理性投资人的兴趣。第一，和数字博彩一样，有些数字比其他数字热门。第二，如果这一轮没有人中大奖，奖金会累积到下一个星期。因此奖金可以累积到很大的金额。^[10]津巴及其同事于1986年对这些因素是否会产生有利的投资机会做了研究。许多估计方法被用来计算最佳的数字：简单地计算数字被选中的频率，中奖数字所获奖金的对数回归以及复杂的限制性最大似然模型。所有的方法都导向相同的结论，即有15～20个数字是相当冷门的，而且，这些数字实际上每年都相同。虽然人们经过多年的学习，这些数字似乎不该像以前那么不受欢迎，但冷门数字仍倾向继续冷门。实际上，预期价值超过1美元的数字组合有数千个，即使在没有累积奖金的时候情况也是一样。最佳数字投注的预期价值随着奖金累积而增加，而且在奖金非常大的时候会趋近于每1美元兑2.25美元。最佳数字经常是较大的数字（非生日的数字）以及那些结尾是0、9、8的数字。根据回归模型，最冷门的12个数字为32、29、10、30、40、39、48、12、42、41、38和18，这些数字被选择的概率约比平均水平低15%～30%。利用边际方法（所选数字较平均水平低两个标准差），我们发现19个最冷门的数字为40、39、20、30、41、38、42、46、29、49、48、32、10、47、1、37、28、34和45。这些数字的赢利面从26.7%到3.2%不等。最受欢迎的数字是7，它被选中的概率比平均水平高了将近50%。(www.xing528.com)

问题仍然在于：在乐透型彩票中赌冷门数字是否赚得到钱？答案是肯定的。虽然你1美元赌注的预期价值是2美元，但是中奖的机会是非常小的。举一个例子，假想一个狂欢节轮盘赌，有100万个辐轴，你从1到100万之间选一个数字，投注1美元，如果你选的数字中奖了，你可以得到200万美元。虽然你有机会赢，但赢奖的机会是非常渺茫的，你可能在赢得大奖之前就先破产了。要分析这个问题，我们需要一个描述财富成长与财富保障的模型。麦克莱恩、津巴和布拉泽克（MacLean，Ziemba and Blazenko，1987）建立了这样的一个模型，其针对的问题是：一个国家可以靠买乐透型彩票增加其长期财富吗？答案是可以。用很小的赌注，它可以将最初的筹码，假设为1 000万美元，在输掉500万美元之前增加10倍，其概率接近于1，但是即使是全世界都在玩，这个过程也要数千年之久。如果只是一次博彩，则需要好几百万年。对我们大多数人而言，更有兴趣知道的是：一个人或是一群人投资冷门数字能够致富吗？这会更困难，尤其是人们想要风险更低的话。资金并不困难，最佳赌注可以低到每周对十组数字之一投注10美分，但是这些沉迷于成为百万富翁的人们，在他们的继承人终于达到目标时，自己极可能已经躺在墓地里了。最好还是投注冷门数字——它们更有优势，如果中奖，你将会赢得普通奖金的3～7倍。但你得要玩上非常长的一段时间，才会中奖。

乐透型彩票最吸引人的一点是，赌注总和中作为累积奖金的部分，在这一轮无人赢得奖金时，会累积到下一轮的奖金中。赢得庞大累积奖金的愿景，正是乐透型彩票令人如此着迷和争相购买背后的主要推动力量。是否值得买下所有的数字而“出老千”赢得大奖呢？要获利有两个必要条件：（1）要有庞大的奖金积累（在49选6彩票中，奖金额需要770万美元）；（2）卖出的彩票“没有很多”。虽然这两个条件不太可能发生，但是在加拿大和其他地方的小型博彩中的确发生过，购买全部彩票确实是合理的策略。然而，重要的是必须强调，即使出现了这样的条件，购买全部彩票会产生庞大的交易成本，因为彩票的购买与兑现是要一笔一笔地完成的，你还得祈祷没有其他人同时做这样的事情（详情请见津巴及其同事1986年的研究）。类似的情况有时会在另类的赛马中发生，像是“选6”（在6场连续赛马中选择第一名）以及其他相关的另类赌法。这种博彩会有庞大的累积奖金，买下全部彩票能够获利。事实上，至少有两个主要的财团成功地打入了这个领域。