赛马博彩市场的有效性分析

赛马场上的“市场”聚集时间约在20～30分钟，其间参与者将赌注下在即将进行比赛的6～12匹马上。典型的赛马中，玩法有三种，参与者可以赌哪一匹马会跑“第一名”（to win）、　“前两名”（to place）或“前三名”（to show）。（还有“另类”的玩法，下注结果决定于两匹或更多匹马的比赛结果组合。）比赛最后跑前三名的马被称为“有奖金的”（in the money）。选择跑第一名的参与者，只有在他们所投注的马跑第一名时才能赢钱；选择跑前两名的参与者，只有投注的马跑第一名或第二名时才能赢钱；选择跑前三名的参与者，只有投注的马跑了第一、第二或者第三名时才能赢钱。每种玩法都有一个被分隔的赌盘，赌金的支付是由“按注分彩”（pari-mutuel）的方式决定的。也就是说，用赌输的投注总额减去交易成本后，剩下的再在赢家间分配。^[1]交易成本是一个固定概率t，包括“场地费用及损耗补偿费用”。由于每1美元赌金的报酬都是四舍五入到离它最近的5美分、10美分或是20美分的，所以这些交易成本是很高的，根据投注类型和场地的不同，通常为15%～25%。

投注在每一匹马上的奖金比例可以被解释为这匹马会赢得比赛的主观概率。综合多场比赛的结果，我们可以检验主观概率，例如主观概率在0.2～0.25的马真正赢得比赛的概率。这项分析的结果让人印象深刻。大家认为赢面最大（最热门）的马，的确最常赢得比赛（约1/3的时候会赢），主观概率和客观概率之间的相关性非常高。^[2]显然，这些市场的投注者具有相当的专业技能。

主观概率与客观概率之间的高相关性是否表示赛马市场是有效率的呢？这要取决于市场有效性的定义。如果我们暂时假设，所有的投注者都是基于理性预期将预期价值^[3]最大化的人，那么市场有效性的以下两个定义似乎是合适的。

市场有效性条件1（弱）：所有投注都没有正的预期价值。

市场有效性条件2（强）：所有投注的预期价值都相同：（1-t）×投注金额。

虽然赛马市场可能很有效率，但是有许多证据显示它违反上述这两个条件。最坚实的实证规律被称为“热门—冷门偏差”。也就是说，每1美元赌金的预期报酬会随着马匹获胜的概率而单调增加。热门赛马获胜的次数高于主观概率所显示的，而冷门赛马获胜的概率则低于主观概率。这表示投注在热门马身上是更好的选择。的确，热门马——那些赔率^[4]低于3赔10的马（有大于70%的机会赢得比赛），实际上具有正的预期价值。这违反了条件1。(www.xing528.com)

图9-1使用之前出版的研究数据（涵盖了超过50 000场的比赛），表现出“热门—冷门偏差”。图上的每个点表示不同市场赔率的马匹的每美元赌金的预期报酬，假设交易成本t为15.33%，这是加利福尼亚州所用的交易成本比值。横线表示预期报酬为0.846 7×（1-t），这会发生在赔率约为2赔9时（即约有15%的概率会赢）。当赔率高于1赔18时，预期报酬会陡降，当赔率为1赔100时，每1美元赌金的报酬只剩13.7%。这表示如果你赌一匹赔率为1赔100的马，你在730场比赛中只会赢一次！当赔率低于10赔3时，预期价值是正的，高赔率马匹的预期收益约为4%～5%（这可以用最低支付的存在来做部分解释，几乎全美的赛马比赛中，每1美元赌金的最低报酬通常为1.05美元）。虽然压倒性的热门赛马很少，但还有其他可获利的投注策略，我们将在下面讨论。

图9-1 加利福尼亚州赛马博彩不同赔率减去消耗后的有效支付

资料来源：Ziemba and Hausch（1986）.

市场效率的另一个检验方法是和适当的博彩做比较。例如，大部分的跑马场都提供“每日连注”式的赌盘，其玩法是投注者选择前两场比赛的赢家。假设一位投注者考虑买每日连注票在第一场赌A马，第二场赌B马，那么另一个替代性的投注策略（被称为“连本带利继续下注”）是在第一场比赛赌A马，如果A马赢了，就将所有获利在第二场中赌在B马身上。效率性的要求是赌A马和B马的每日连注的报酬，与连本带利继续下注在A马和B马身上的报酬一样。阿里（Ali，1979）、阿施和匡特（Asch and Quandt，1987）对这项命题都做了验证。这些验证所得到的结论是，每日连注及连本带利继续下注两种方式相对于彼此，在定价上是合理且有效率的。尽管投注者应该比较喜欢每日连注的方式，因为它的交易成本较低。

还有一个类似的检验方法是使用正序连赢的投注方式，就是投注者必须以正确的顺序选择跑第一名及第二名的马匹。正如可以用“第一名赌注总和”（win pool），即不同马匹投注的相对金额，来计算该匹马跑赢的概率，正序连赢也有类似的计算方法，即用所谓的哈维尔公式（Harville，1973）。如果qi是赛马i跑赢的概率，那么假设赛马i跑第一名，而赛马j跑第二名的概率是qiqi/（1-qi）。（类似地，赛马i跑第一，赛马j跑第二，赛马k跑第三的概率为qiqjqk/ ［1-qi］［1-qiqj］。）^[5]阿施和匡特使用哈维尔公式比较“第一名赌注总和”及正序连赢方式获胜的主观概率。他们发现大众的投注行为并不符合数学公式所计算出的结果。从两种下注方式中所得到的同一马匹获胜的主观概率，常常差异很大。