无期限收付的永续年金与普通年金的计算方法

年金,是指一定时期内间隔期相等的系列等额收付款项,记作A。年金形式多种多样,例如,等额分期付款、分期偿还贷款、分期支付工程款等,都属于年金的收付形式。按照每次款项收付时点的不同,年金分为普通年金、预付年金、递延年金、永续年金等。普通年金和预付年金的区别仅在于收付款时间的不同,普通年金发生在期末,而预付年金发生在期初。永续年金是指等额的收付是无期限的,其没有到期日。在年金中,系列等额收付间隔期间可以不是一年,只需要间隔期相等即可,例如每季末等额支付的债务利息就是年金。

1)普通年金

普通年金,又称后付年金,是年金的最基本形式,它是指从第一期起,在一定时期内等额收付的系列款项发生在每期期末,如图2.1所示。数轴上的数字代表的时间点是期末,比如,“2”代表的是第二期期末,同时,本期期末和下期期初是同一个时点,所以,“2”代表的时点也可以表述为第三期期初,“0”代表的时点是第一期期初。竖线下端数字A表示每次等额收付的金额,即年金。

图2.1　普通年金

(1)普通年金终值的计算

普通年金终值是指在一定期间内每期期末等额收付款项的复利终值之和,是最后一次收付的本利和,如图2.2所示。

图2.2　普通年金终值

普通年金终值的计算实际上是已知年金A,求终值FA。

式中,称为“年金终值系数”,记作(F/A,i,n),可直接查阅“年金终值系数表”(参见附件3)得到,(F/A,i,n)中的“n”指的是等额收付的次数,即A的个数。

【例2．6】甲公司拟进行一项投资,计划从2018年开始,于每年年末投入资金100万元,预计该项目5年后建成,假设该项目的资金是通过银行贷款取得,贷款利率为6%,计算该项目的投资总额是多少?

FA=A×(F/A,i,n)=100×(F/A,6%,5)=100×5.637 1=563.71(万元)

该项目的投资总额是563.71万元,是否值得投资需要结合其项目投资金额进行判断。

(2)普通年金现值的计算

普通年金现值是指将一定时期内各期等额收付金额折算到第一期期初(0时点)的复利现值之和,如图2.3所示。

图2.3　普通年金现值

计算普通年金现值的一般公式:

P=A(1﹢i)-1﹢A(1﹢i)-2﹢…﹢A(1﹢i)-n

式中,称为“年金现值系数”,记作(P/A,i,n),可直接查阅“年金现值系数表”(参见附件4)得到,(P/A,i,n)中的“n”指的是等额收付的次数,即A的个数。

【例2．7】乙公司投资项目于2018年年初投产,从投产之日起每年末可以获得100万元的收益,假设年折现率为5%,计算该项目未来10年投资收益的现值。

该项目未来10年投资收益的现值为772.17万元,若该项目的投资额小于其现值,则可以考虑投资。

2)预付年金

预付年金,又称现付年金或即付年金,它是指从第一期起,在一定时期内等额收付的系列款项发生在每期期初,如图2.4所示。

图2.4　预付年金

(1)预付年金终值的计算

预付年金终值是指在一定期间内每期期初等额收付款项的复利终值之和,是最后一次收付的本利和,如图2.5所示。

图2.5　预付年金终值

预付年金终值的计算实际上是已知年金A,求终值FA。

式中,称为“预付年金终值系数”,它跟普通年金终值系数相比,期数加1,系数减1,可记作[(F/A,i,n﹢1)-1],查阅“普通年金终值系数表”(n﹢1)期的值,然后减去1后得出预付年金终值系数。因此,预付年金终值的计算公式为:

FA=A×[(F/A,i,n﹢1)-1]

【例2．8】李某为给儿子存一笔上学所需资金,购买了一个长期的理财产品,该产品规定,李某应于每年年初存入银行2万元,共计存款6年,若银行利率为4%,则李某在第6年末能取出多少钱?

FA=A×[(F/A,i,n﹢1)-1]

=2×[(F/A,4%,7)-1]

=2×(7.898 3-1)

=13.796 6(万元)

李某在第6年年末能取出13.796 6万元。

(2)预付年金现值的计算

预付年金现值是指将一定时期内各期等额收付金额折算到第一期期初(0时点)的复利现值之和,如图2.6所示。

图2.6　预付年金终值

计算预付年金现值的一般公式:

式中,称为“预付年金现值系数”,它与普通年金终值系数相比,期数减1,系数加1,可记作[(P/A,i,n-1)﹢1],查阅“普通年金现值系数表”(n-1)期的值,然后加上1后得出预付年金现值系数。因此,预付年金现值的计算公式为:

PA=A×[(P/A,i,n-1)﹢1]

【例2．9】2018年1月,钱某打算分期付款购买一套住房,该付款计划为:从购买当天开始每年年初支付20万元,一共付6年,银行贷款年利率为6%。如果钱某打算一次性付款应该付多少钱?

PA=A×[(P/A,i,n-1)﹢1]

=20×[(P/A,6%,5)﹢1]

=20×(4.212 4﹢1)

=104.248 0(万元)

钱某如果打算一次性付款,应该支付104.248 0万元。

3)递延年金(www.xing528.com)

递延年金,是指系列等额的收付发生在第一期之后的某一期开始。递延年金由普通年金递延形成,递延的期数称为递延期,一般用m表示递延期。递延年金的第一次收付发生在第(m﹢1)期期末,用n表示有等额收付的年金期间,如图2.7所示。

图2.7　递延年金

(1)递延年金终值的计算

对于递延期为m,等额收付n次的递延年金而言,其终值指的是各期等额收付金额在第(m﹢n)期期末的复利终值之和,如图2.8所示。

图2.8　递延年金终值

递延年金终值的计算与普通年金终值的计算一样,计算公式如下:

注意:式中的“n”表示A的个数,与递延期无关。

(2)递延年金现值的计算

递延年金现值是指递延年金中各期等额收付金额在第一期期初的复利现值之和。

递延年金现值计算方法有3种,如下所述。

①计算方法1:先将递延年金视为n期普通年金,求出在递延期期末的普通年金现值,然后再折算到0时点。

PA=A×(P/A,i,n)×(P/F,i,m)

式中,m表示递延期,n表示连续收支期数,即年金期。

②计算方法2:先计算m﹢n期普通年金现值,再减去m期年金现值。

PA=A×(P/A,i,m﹢n)-A×(P/A,i,m)

③计算方法3:先计算递延年金终值,再折现为现值。

PA=A×(F/A,i,n)×(P/F,i,m﹢n)

【例2．10】甲企业租入一栋写字楼,出租方规定,前三年免租金,从第四年年末开始每年支付租金100万元,一共租用五年,假设折现率为10%,计算甲企业应付租金的现值。

方法1:

PA=A×(P/A,i,n)×(P/F,i,m)

=100×(P/A,10%,5)×(P/F,10%,3)

=100×3.790 8×0.751 3

=284.802 8(万元)

方法2:

PA=A×(P/A,i,m﹢n)-A×(P/A,i,m)

=100×(P/A,10%,5﹢3)-100×(P/A,10%,3)

=100×5.334 9-100×2.486 9

=284.89(万元)

方法3:

PA=A×(F/A,i,n)×(P/F,i,m﹢n)

=100×(F/A,10%,5)×(P/F,10%,8)

=100×6.105 1×0.466 5

=284.802 9(万元)

4)永续年金

永续年金是指无限期定额收付的年金,是普通年金的极限形式,当普通年金的收付次数为无穷大时即为永续年金。现实中存本取息就是永续年金的一个例子。

永续年金的现值可以看成是一个n无穷大时普通年金的现值,永续年金的现值可以通过对普通年金现值的计算公式导出:

【例2．11】顾先生打算为孙子存一笔基金,让孙子每年能从银行领取2万元用于上学。若银行利率为5%,现在应存入多少钱?

因为每年都要取出2万元学费,所以这是一笔永续年金,顾先生需要存入40万元才能保证其孙子每年都有2万元作为学费。

5)年偿债基金和年资本回收额

(1)年偿债基金

年偿债基金是指为了在约定的未来某一时点清偿某笔债务或积聚一定数额的资金而必须分次等额形成的存款准备金。也就是为使年金终值达到既定金额的年金数额,即已知终值,求年金A。在普通年金终值公式中解出A,这个A就是年偿债基金。

式中,称为“偿债基金系数”,记作(A/F,i,n)。

【例2．12】任先生打算每年年末存一笔钱,在5年后攒够100万元用于投资,若银行利率为5%,则任先生每年需要攒多少钱?

任先生每年需要攒18.097 6万元才能在5年后攒够买房子的钱。

(2)年资本回收额

年资本回收额是指在约定年限内等额回收初始投入资本的金额。年资本回收额的计算实际上是已知普通年金现值P,求年金A。

式中,称为“偿债基金系数”,记作(A/P,i,n)。

【例2．13】小李打算买一部5 000元的手机,采取分期付款方式分5年支付,若银行利率为6%,则小李每年需要支付多少钱?

小李分期付款买手机,每年需要支付1 186.97元。