矩阵对策的图解法及案例分析

本节将介绍矩阵对策的图解法。这种方法不仅为赢得矩阵为2×n或m×2阶的对策问题提供了一个简单直观的解法，而且通过这种方法可以使我们从几何上理解对策论的思想。下面，通过一些例子来说明图解法。

例10-11　用图解法求解矩阵对策G＝{S1，S2； A}，其中

解　设局中人Ⅰ的混合策略为（x，1-x）T，x ∈[0，1]。过数轴上坐标为0 和1的两点分别作两条垂线Ⅰ-Ⅰ和Ⅱ-Ⅱ，垂线上的纵坐标分别表示局中人Ⅰ采取的纯策略α1和α2，局中人Ⅱ采取的各种纯策略时的赢得值（见图10-1）。当局中人Ⅰ选择每一策略（x，1-x）T后，他的最少可能收入为由β1，β2，β3所确定的三条直线在x 处的纵坐标中的最小者决定。所以，对局中人Ⅰ来说，他的最优选择是确定x，以使三个纵坐标中的最小者尽可能地大。从图上来看，就是使得x＝OA，这时，B 点的纵坐标为对策的值。为求x 和对策的值VG，可联立过B 点的两条由β2和β3确定的直线方程：

解得所以，局中人Ⅰ的最优策略为从图上还可以看出，局中人Ⅱ的最优混合策略只有β2和β3组成。事实上，若设为局中人Ⅱ的最优混合策略，则由

根据定理6，必有又因，再根据定理6，可由

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图10-1　2×n 对策图解法

求得所以，局中人Ⅱ的最优混合策略为

例10-12　用图解法求解矩阵对策G＝{S1，S2； A}，其中

解　设局中人Ⅱ的最优混合策略为（y，1-y）T，y ∈[0，1]。由图10-2 可知，对任一y ∈[0，1]，直线α1，α2，α3的纵坐标是局中人Ⅱ采取混合策略（y，1-y）T时的支付。根据从最不利当中选择最有利的原则，局中人Ⅱ的最优策略就是确定y，使得三个纵坐标中的最大者尽可能地小。从图上看，就是要选择y，使得 A1≤y≤A2，这时，对策的值为6。由方程组

图10-2　m×2 对策的图解法

解得

故局中人Ⅱ的最优混合策略是y*=（y，1-y）T，其中局中人Ⅰ的最优策略显然只能是（0，1，0）T，即取纯策略α2。