连续随机需求下的报童问题：最大化利润期望，最小化损失期望

现在考虑当需求r 为连续型随机变量，且需求服从一定概率分布时的报童问题。设单位货物进价为w，售价为p，存储费为C1，货物需求r 为连续随机变量，其密度函数为f（r），分布函数为F（r）。问题：货物的订货量或生产量Q 为何值时，才能使利润期望值最大？

当需求为r，订货量为Q 时，利润为

其中货物存储费为剩余货物的存储费：

则利润期望值为

其中pE（r）表示平均盈利，表示因缺货导致的损失期望值，表示因滞销导致的损失期望值，wQ 表示货物的采购费用。故总的损失期望值为

为使盈利期望值最大化，则有

式（9.20）说明最大利润期望值与最小损失期望值之和为一常数，等于平均收益。

因此，求利润期望值最大可以转化为求损失期望值最小。当Q 可以连续取值时，E[W（Q）]或 E[C（Q）]是Q的连续函数，可以用微分法求最优解。下面将以 E[C（Q）]的最优解求解过程为例进行说明。

首先，对 E[C（Q）]求一阶导数得(www.xing528.com)

从式（9.21）中解出Q，记为Q*，Q*为E[C（Q）]的驻点。又由于 E[C（Q）]的二阶导数为

故 Q*为E[C（Q）]的极小值点，也是最小值点。

注意，若p-w≤0，由于Q*=0，此时意味着销售价低于进货成本，不需要订货。

上面关于 E[C（Q）]的求解仅考虑了缺货失去销售机会的损失，如果同时考虑缺货时需要付出的费用，即总的缺货费用 C2＞p，则有

例9-9　一报童以美分0.20 元价格从发行人那里订购报纸，然后再以0.50 元的零售价格出售。但是，他不能准确地知道第二天的报纸的实际需求量，只是根据以前的经验，知道需求量服从均值为50，标准差为12的正态分布，那么他应当订购多少份报纸？

解　根据题意，易知 C1=0.20，p=0.5，w=0.2。由期望损失公式可知

因此，Q*=50+12×（-0.18）=47.84≈48（份）。