一般服务时间M/G/1模型在汽车服务业务中的应用

对于M/G/1 模型，服务时间T的分布是一般的（但要求期望值E[T]和方差Var[T]都存在），其他条件和标准的M/M/1 型相同。为了达到稳态，ρ ＜1 这一条件还是必要的，其中ρ ＝λE[T]。

Pollaczek-Khintchine（P-K 公式）：

系统利用率：

正在接受服务的顾客平均数：

系统中等待的平均顾客数：

系统中的平均顾客数：

顾客平均逗留时间：

顾客平均等待时间：

常数服务时间能将系统的平均顾客数砍掉一半。

例8-3　Robot 公司在全美经营把加油和汽车冲洗合并在一起的业务。Robot 公司对加满油的车辆提供免费冲洗，对于不加油只冲洗的车辆收取冲洗费0.5 美元。以往的经验表明：加油并且洗车的顾客数和单独洗车的顾客数大致相等。平均加一次油可盈利0.7 美元，洗一次车的成本是0.1 美元，公司每天营业14 小时。

Robot 有三档功率和清洗组合成不同组合的设备。选择I 档功率时，可以每5 分钟洗1辆车，每天的成本是12 美元；II 档功率高于I 档，每4 分钟洗1 辆车，但每天的成本是16美元；选择III 档功率时，每洗1 辆车需3 分钟，但每天的成本是22 美元。

Robot 公司估计，每位顾客清洗1 辆车而不愿等待的时间不超过5 分钟，若等待的时间过长，公司将失去顾客。

若估计每小时有10 位顾客前来洗车，那么该选择哪档功率的设备？(www.xing528.com)

解　这是一个典型的M/G/1 排队问题。

（1）选择功率I 时，

等待的平均顾客数：

顾客平均等待时间：

（2）选择功率II 时，

等待的平均顾客数：

顾客平均等待时间

如果等待时间是唯一标准，则应选择功率II的设备，但在做出最后结论之前，还必须看一下两者的利润差异。

（3）对于功率I，由于等待时间为12.5 分钟，部分顾客会放弃接受服务。尽管这将使数学分析复杂化，但我们仍可以估计出选择功率I 时营业额的减少量。我们可以通过假设Wq＝5 分钟（1/12 小时），并从中解得λ，这将是最有效的顾客到达率。

因此，既然 λ的最初估计是10 人/小时，则每小时将失去2 位顾客，因此，每天的损失（S）为：

而选择功率II，成本只增加了4 美元/天，显然，相比于选择I 时损失的15.4 美元，我们都会选择功率II 设备。

功率II 能满足最初设定的5 分钟等待最大限度，因而功率III 可不予考虑，除非λ 变大。