规划问题的数学模型与描述

人们在生产和经营管理中经常提出如何合理安排，才使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大效益，这就是规划问题。

线性规划通常解决下列两类问题：

（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标。

（2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产才能获得最好的经济效益（如产品量最多、利润最大）。

例 1-1　某工厂在计划期内要安排Ⅰ，Ⅱ两种产品的生产，已知生产单位产品所需的设备台时及A，B 两种原材料的消耗、资源的限制，如表1-1 所示：

表1-1　某工厂的生产安排

问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ，Ⅱ产品，才能使工厂获利最多？

分析　此问题可以用以下的数学模型来描述，设x1，x2分别表示在计划期内产品Ⅰ，Ⅱ的产量。因为设备的有效台时是8，故这是一个限制产量的条件。因此，在确定产品Ⅰ，Ⅱ的产量时，要考虑不超过设备的有效台时数，即用不等式表示为：

同理，因原材料A，B的限量，可以得到以下不等式：(www.xing528.com)

该工厂的目标是在不超过所有资源限量的条件下，如何确定产量x1，x2以得到最大的利润。若用z 表示利润，这时

综上所述，该计划问题可用数学模型表示为：

例 1-2　某企业计划生产甲、乙两种产品，而且这些产品分别要在A，B，C，D 四种不同的设备上加工。按工艺资料规定，单件产品在不同设备上加工所需要的台时如表1-2 所示，企业决策者应如何安排生产计划，才使企业总的利润最大？

表1-2　某企业生产计划

解　设x1，x2分别为甲、乙两种产品的产量，则数学模型为：